Dê as equações polares das seguintes curvas:
  • a reta y=5 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação polar da reta . Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, que é um sistema diferente das coordenadas cartesianas que a gente costuma usar. Vamos precisar usar as relações entre as coordenadas cartesianas e polares para fazer essa conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas para polares. As fórmulas são:
x = r cos theta
y = r sin theta
Isso significa que qualquer ponto pode ser representado em termos de (a distância do ponto até a origem) e (o ângulo que a linha do ponto forma com o eixo positivo ).

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação da reta r sin theta = 5 cdot r cos theta . Substituindo e por suas equivalentes em coordenadas polares, temos:

Passo 4

Observamos que sin theta = 5 cos theta está presente em ambos os lados da equação. Se , podemos dividir os dois lados por para simplificar:

Passo 5

Agora, queremos isolar sin thetacos theta = 5 . Vamos dividir os dois lados da equação por tan theta = 5 (assumindo que ):
Sabemos que é igual a , então:

Passo 6

Para encontrar theta = arctan(5) , tiramos a tangente inversa de ambos os lados:
Isso nos dá o ângulo específico para a reta no sistema polar.

Resposta

A equação polar da reta é .

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