Dê as equações polares das seguintes curvas:
- a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação polar da reta
. Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, que é um sistema diferente das coordenadas cartesianas que a gente costuma usar. Vamos precisar usar as relações entre as coordenadas cartesianas
e polares
para fazer essa conversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas para polares. As fórmulas são:
Isso significa que qualquer ponto
pode ser representado em termos de
(a distância do ponto até a origem) e
(o ângulo que a linha do ponto forma com o eixo positivo
).
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na equação da reta
. Substituindo
e
por suas equivalentes em coordenadas polares, temos:
Passo 4
Observamos que
está presente em ambos os lados da equação. Se
, podemos dividir os dois lados por
para simplificar:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Vamos dividir os dois lados da equação por
(assumindo que
):
Sabemos que
é igual a
, então:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a tangente inversa de ambos os lados:
Isso nos dá o ângulo específico para a reta no sistema polar.
Resposta
A equação polar da reta
é
.
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Converta cada equação polar para cartesiana:
Converta cada equação cartesiana para coordenada polar:
Determine o vetor de coordenadas
de
em relação a base
, onde
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(i)
(i)