Seja A=(cc3 & -1 x & y), onde x e y são números reais. Se A=A^-1, determine x+y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a matriz 3 & -1 x & y e sabemos que , ou seja, a matriz é igual à sua própria inversa. Vamos usar conceitos de matrizes inversas e multiplicação de matrizes para descobrir os valores de e e, finalmente, calcular .

Passo 2

Sabemos que se A times A = I é igual à sua inversa, então multiplicar I = 1 & 0 0 & 1 por ela mesma deve resultar na matriz identidade . Então, temos:
A matriz identidade para uma matriz 2x2 é:

Passo 3

Vamos calcular o produto A times A = 3 & -1 x & y times 3 & -1 x & y = 3 times 3 + (-1) times x & 3 times (-1) + (-1) times y x times 3 + y times x & x times (-1) + y times y :
A times A = 9 - x & -3 - y 3x + yx & -x + y^2
Simplificando:

Passo 4

Igualando 9 - x = 1 -3 - y = 0 3x + yx = 0 -x + y^2 = 1 à matriz identidade, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
9 - x = 1 Rightarrow x = 8

Passo 6

Resolvendo a segunda equação:
-3 - y = 0 Rightarrow y = -3

Passo 7

Vamos verificar se os valores encontrados satisfazem as outras equações:
3x + yx = 3 times 8 + (-3) times 8 = 24 - 24 = 0
-x + y^2 = -8 + (-3)^2 = -8 + 9 = 1
Ambas as equações são verdadeiras com e .

Resposta

A soma de x + y = 8 + (-3) = 5 é:

Exercícios relacionados