Determine um vetor de direção e três pontos distintos sobre a reta
(b)
r:l x=1-2 t y=-3+4 t z=-2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor de direção e três pontos distintos que estão na reta dada pelas equações paramétricas:
r:l x=1-2 t y=-3+4 t z=-2 t
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar as equações paramétricas de uma reta e como extrair o vetor de direção e pontos dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser representada por equações paramétricas na forma:
l x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
Aqui, (x0, y0, z0) é um ponto qualquer da reta, e (a, b, c) é o vetor de direção da reta, que indica a direção na qual a reta se estende.

Passo 3

Comparando com as equações do enunciado:
r:l x=1-2 t y=-3+4 t z=-2 t
Podemos identificar que:
  • x0 = 1, y0 = -3, z0 = 0 (quando t = 0, por exemplo)
  • a = -2, b = 4, c = -2
Então, o vetor de direção é:
v = -2 4 -2

Passo 4

Agora, vamos encontrar três pontos distintos na reta. Para isso, basta escolher três valores diferentes para o parâmetro t e calcular as coordenadas correspondentes.
Vamos escolher t = 0, t = 1 e t = 2.
  1. Para t = 0:
    x = 1 - 2(0) = 1 y = -3 + 4(0) = -3 z = -2(0) = 0
    Ponto: (1, -3, 0)
  2. Para t = 1:
    x = 1 - 2(1) = -1 y = -3 + 4(1) = 1 z = -2(1) = -2
    Ponto: (-1, 1, -2)
  3. Para t = 2:
    x = 1 - 2(2) = -3 y = -3 + 4(2) = 5 z = -2(2) = -4
    Ponto: (-3, 5, -4)

Resposta

Vetor de direção:
v = -2 4 -2
Três pontos distintos na reta:
  1. (1, -3, 0)
  2. (-1, 1, -2)
  3. (-3, 5, -4)

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