No problema de valor inicial y' - y = 2, y(0) = y0, determine como o valor limite de y, quando t -> infinito, depende de y0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial . O objetivo é descobrir como o limite de y quando t tende ao infinito ( t -> infinito) depende do valor inicial . Então, para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação diferencial . Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação, facilita a integração.

Passo 3

O primeiro passo para encontrar o fator integrante é identificar P(t) na forma padrão da equação diferencial:
No nosso caso, reescrevemos a equação como:
Então, .

Passo 4

O fator integrante é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso nos dá:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a esquerda da equação em uma derivada de um produto.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
Isso resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para y multiplicando ambos os lados por e^t:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:
Portanto, .

Passo 9

Substituímos o valor de C na solução geral:

Passo 10

Agora, vamos analisar o limite de y quando t -> infinito:
Aqui, vemos que e^t cresce exponencialmente à medida que t aumenta.

Passo 11

Se , o termo dominará a expressão, fazendo com que y cresça para +infinito ou -infinito dependendo do sinal de . No entanto, se , ou seja, , então:
Então, o limite será -2.

Resposta

O limite de y quando t -> infinito depende de da seguinte forma:
  • Se , então .
  • Se , então y tende para +infinito se ou para -infinito se .

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