No problema de valor inicial
, determine como o valor limite de y, quando
, depende de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
. O objetivo é descobrir como o limite de
quando
tende ao infinito (
) depende do valor inicial
. Então, para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação diferencial
. Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação, facilita a integração.
Passo 3
O primeiro passo para encontrar o fator integrante é identificar
na forma padrão da equação diferencial:
No nosso caso, reescrevemos a equação como:
Então,
.
Passo 4
O fator integrante
é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso nos dá:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a esquerda da equação em uma derivada de um produto.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Portanto,
.
Passo 9
Substituímos o valor de
na solução geral:
Passo 10
Agora, vamos analisar o limite de
quando
:
Aqui, vemos que
cresce exponencialmente à medida que
aumenta.
Passo 11
Se
, o termo
dominará a expressão, fazendo com que
cresça para
ou
dependendo do sinal de
. No entanto, se
, ou seja,
, então:
Então, o limite será
.
Resposta
O limite de
quando
depende de
da seguinte forma:
- Se
, então . - Se
, então tende para se ou para se .
Exercícios relacionados
Determine o vetor gradiente da função
no ponto
.
Discuta a existência e unicidade de
. A solução existe para todo
Sendo a função
seny), determinar o gradiente no ponto
.
Determinar um vetor perpendicular à circunferência
, no ponto
.