Sendo a função f(x, y) = x^3 seny), determinar o gradiente no ponto (2, pi/4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer achar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um conceito de cálculo multivariável que envolve derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois avaliar no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando fazemos derivadas parciais, tratamos a outra variável como uma constante. Então, mantemos fixo.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Da mesma forma, tratamos como uma constante.
Derivando em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos agora avaliá-las no ponto .
Primeiro, para :
Segundo, para :

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

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No problema de valor inicial y' - y = 2, y(0) = y0, determine como o valor limite de y, quando t -> infinito, depende de y0.
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Determinar um vetor perpendicular à circunferência x^2 + y^2 = 4, no ponto (raiz(3), 1).
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