Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
a) z = x * raiz(x^2 + y^2) ; P = (1, 1) ; u(1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função dada no ponto especificado e, depois, calcular a taxa de variação da função nesse ponto na direção de um vetor qualquer. Aqui, a função é , o ponto é e o vetor direção é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto, onde uma função é o produto de e . Assim,
Simplificando,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é tratado como constante, então,

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, o vetor gradiente no ponto é:

Passo 6

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da função na direção do vetor . Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário :

Passo 7

A taxa de variação na direção de é o produto escalar entre o gradiente e :
çã

Resposta

A taxa de variação de em na direção de é igual a 2.

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