Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função dada no ponto especificado e, depois, calcular a taxa de variação da função nesse ponto na direção de um vetor qualquer. Aqui, a função é
, o ponto é
e o vetor direção é
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto, onde uma função é o produto de
e
. Assim,
Simplificando,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é tratado como constante, então,
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, o vetor gradiente no ponto
é:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da função na direção do vetor
. Primeiro, vamos transformar
em um vetor unitário
:
Passo 7
A taxa de variação na direção de
é o produto escalar entre o gradiente e
:
Resposta
A taxa de variação de
em
na direção de
é igual a 2.