Usando o teste da raiz, determine se as séries são ou não convergentes:
(f) sumn=1^infty n^44^n

Passo 1

Vamos analisar a série infinita sumn=1^infty n^44^n usando o Teste da Raiz. Esse teste faz parte do estudo de séries e nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar calcular o limite da raiz enésima do termo geral da série.

Passo 2

O Teste da Raiz afirma que, para uma série sum an, calculamos:
L = limn to infty raiz[n]|an|
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Identificamos o termo geral da série:
an = n^44^n
Aplicando o Teste da Raiz:
raiz[n]|an| = raiz[n]n^44^n = raiz[n]n^4raiz[n]4^n = n^4/n4

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite:
L = limn to infty n^4/n4
Observando que n^4/n pode ser reescrito como e^4 ln nn. Quando n tende ao infinito, ln nn tende a 0. Portanto:
n^4/n = e^4 ln nn to e^0 = 1
Assim,
L = limn to infty 14 = 14

Resposta

Como L = 14 < 1, a série sumn=1^infty n^44^n converge pelo Teste da Raiz.

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