Indique as regiões de
onde
é diferenciável.
b)
.
b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede: temos a função
e precisamos descobrir em quais regiões do plano
essa função é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial que envolvem derivadas parciais e continuidade.
Passo 2
Primeiro, uma função de duas variáveis como
é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem nesse ponto e são contínuas ao redor dele. Isso significa que precisamos verificar se
tem derivadas parciais em qualquer ponto de
e se essas derivadas se comportam de maneira contínua.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Observamos que ambas as derivadas parciais
e
são compostas por funções polinomiais e exponenciais, que são conhecidas por serem diferenciáveis em todo o seu domínio. Além disso, os termos
e
são polinômios que também são diferenciáveis em
.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em qualquer ponto de
, concluímos que a função
é diferenciável em todo o plano
.
Resposta
A função
é diferenciável em todas as regiões de
.