Indique as regiões de R^2 onde f é diferenciável.
b) f(x, y) = e^(x * y^2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede: temos a função e precisamos descobrir em quais regiões do plano essa função é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial que envolvem derivadas parciais e continuidade.

Passo 2

Primeiro, uma função de duas variáveis como é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem nesse ponto e são contínuas ao redor dele. Isso significa que precisamos verificar se tem derivadas parciais em qualquer ponto de e se essas derivadas se comportam de maneira contínua.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Observamos que ambas as derivadas parciais e são compostas por funções polinomiais e exponenciais, que são conhecidas por serem diferenciáveis em todo o seu domínio. Além disso, os termos e são polinômios que também são diferenciáveis em .

Passo 5

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em qualquer ponto de , concluímos que a função é diferenciável em todo o plano .

Resposta

A função é diferenciável em todas as regiões de .

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