Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
b) z = x^2 * y + 3 * x * y + y^2 ; P = (0, 3) ; u = (1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o vetor gradiente da função no ponto e depois determinar a taxa de variação dessa função na direção do vetor . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função . O vetor gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Com essas derivadas parciais, o vetor gradiente fica:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto . Substituindo e :
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Portanto, o vetor gradiente em é:

Passo 7

Agora, vamos determinar a taxa de variação de na direção do vetor . Primeiro, precisamos garantir que seja um vetor unitário. A fórmula para a derivada direcional é:
Onde é o vetor unitário na direção de . Calculando a magnitude de :
Então, .

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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