Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o vetor gradiente da função
no ponto
e depois determinar a taxa de variação dessa função na direção do vetor
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função
. O vetor gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Com essas derivadas parciais, o vetor gradiente fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto
. Substituindo
e
:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Portanto, o vetor gradiente em
é:
Passo 7
Agora, vamos determinar a taxa de variação de
na direção do vetor
. Primeiro, precisamos garantir que
seja um vetor unitário. A fórmula para a derivada direcional é:
Onde
é o vetor unitário na direção de
. Calculando a magnitude de
:
Então,
.
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.