Nos exerciicios 01 e 10 resolva a equação diferencial dada por separação de variavel: dP/dt = P - P^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando separação de variáveis. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde a gente separa as variáveis para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar os termos que contêm P dos que contêm t. Assim, temos:

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por para isolar :

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. Para o lado esquerdo, vamos usar frações parciais:

Passo 5

Decomponha a fração em frações parciais:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Simplificando a diferença de logaritmos:

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para se livrar do logaritmo:
Aqui, ainda é uma constante.

Passo 9

Resolvendo para P:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante arbitrária.

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