Nos exerciicios 01 e 10 resolva a equação diferencial dada por separação de variavel:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando separação de variáveis. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde a gente separa as variáveis para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar os termos que contêm
dos que contêm
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
para isolar
:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. Para o lado esquerdo, vamos usar frações parciais:
Passo 5
Decomponha a fração
em frações parciais:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Simplificando a diferença de logaritmos:
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para se livrar do logaritmo:
Aqui,
ainda é uma constante.
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.