Determine um vetor a, de módulo 2, que seja simultaneamente ortogonal aos vetores u=imath+jmath e v=2 imath-jmath+3 k.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor a com módulo igual a 2 que seja ortogonal aos vetores u = i + j e v = 2i - j + 3k. Isso envolve conceitos de vetores ortogonais e produto vetorial para encontrar uma direção perpendicular a ambos os vetores dados.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal tanto a u quanto a v. Para isso, a gente usa o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais.
Vamos calcular u × v:
u times v = imath & jmath & k 1 & 1 & 0 2 & -1 & 3
Expandindo o determinante:
u times v = imath(1 cdot 3 - 0 cdot (-1)) - jmath(1 cdot 3 - 0 cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 2)
u times v = 3imath - 3jmath - 3k
Então, o vetor resultante é:
u times v = 3imath - 3jmath - 3k

Passo 3

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante para normalizar depois. O módulo de um vetor |w| = raiza^2 + b^2 + c^2 é dado por:
|u times v| = raiz3^2 + (-3)^2 + (-3)^2 = raiz9 + 9 + 9 = raiz27 = 3raiz3
Aplicando isso ao nosso vetor:

Passo 4

Com o vetor perpendicular e seu módulo, vamos normalizar o vetor para que ele tenha módulo 1. Isso é feito dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo:
n = u times v|u times v| = 3imath - 3jmath - 3k3raiz3 = 1raiz3imath - 1raiz3jmath - 1raiz3k

Passo 5

Agora, queremos que o vetor a tenha módulo 2. Para isso, basta multiplicar o vetor normalizado pelo fator 2:
a = 2 cdot n = 2 ( 1raiz3imath - 1raiz3jmath - 1raiz3k ) = 2raiz3imath - 2raiz3jmath - 2raiz3k

Resposta

O vetor a = 2raiz3,imath - 2raiz3,jmath - 2raiz3,k que satisfaz as condições é:

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