Faça uma rotação no sistema (x, y) para obter um novo sistema de coordenadas (x1, y1) no qual a equação da cônica não tem termo envolvendo.o produto misto, x1 y1. Escreva qual é o novo sistema de coordenadas e também a equação da cónica nesse novo sistema.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica, mais especificamente sobre conicas e mudança de sistema de coordenadas. A ideia é fazer uma rotação no sistema (x, y) para obter um novo sistema (x1, y1) onde a equação da cônica não tenha o termo misto x1 y1. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de rotação de eixos e entender como eliminar o termo misto na equação da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas para rotação de coordenadas. Quando giramos o sistema de coordenadas em um ângulo theta, as novas coordenadas (x1, y1) estão relacionadas com as antigas (x, y) por:
x = x1 cos theta - y1 sin theta y = x1 sin theta + y1 cos theta
Essas fórmulas nos permitem expressar x e y em termos de x1 e y1 após a rotação.

Passo 3

Agora, vamos supor que a equação da cônica original tem a forma geral:
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
Nosso objetivo é eliminar o termo x1 y1 na nova equação após a rotação. Para isso, precisamos escolher o ângulo theta de rotação de maneira que o coeficiente do termo misto na nova equação seja zero.

Passo 4

Após substituir as expressões de x e y nas fórmulas da equação da cônica, vamos expandir e agrupar os termos. O coeficiente do termo x1 y1 na nova equação será:
B' = (C - A) sin theta cos theta + B ( cos^2 theta - sin^2 theta )
Queremos que B' = 0 para eliminar o termo misto.

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta que zera B', usamos a condição:
tan 2theta = BA - C
Resolvendo essa equação, encontramos o ângulo necessário para a rotação que elimina o termo x1 y1 na nova equação da cônica.

Passo 6

Com o ângulo theta determinado, aplicamos as fórmulas de rotação para encontrar as novas coordenadas (x1, y1):
x1 = x cos theta + y sin theta y1 = -x sin theta + y cos theta
Essas são as equações do novo sistema de coordenadas após a rotação.

Resposta

O novo sistema de coordenadas é dado por:
x1 = x cos theta + y sin theta y1 = -x sin theta + y cos theta
onde theta satisfaz tan 2theta = BA - C.
A equação da cônica no novo sistema, sem o termo misto x1 y1, fica:
A' x1^2 + C' y1^2 + D' x1 + E' y1 + F = 0
onde os coeficientes A', C', D', E' são determinados após a substituição e simplificação das fórmulas de rotação.

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