Faça uma rotação no sistema
para obter um novo sistema de coordenadas
no qual a equação da cônica não tem termo envolvendo.o produto misto,
. Escreva qual é o novo sistema de coordenadas e também a equação da cónica nesse novo sistema.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica, mais especificamente sobre conicas e mudança de sistema de coordenadas. A ideia é fazer uma rotação no sistema
para obter um novo sistema
onde a equação da cônica não tenha o termo misto
. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de rotação de eixos e entender como eliminar o termo misto na equação da cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas para rotação de coordenadas. Quando giramos o sistema de coordenadas em um ângulo
, as novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
por:
Essas fórmulas nos permitem expressar
e
em termos de
e
após a rotação.
Passo 3
Agora, vamos supor que a equação da cônica original tem a forma geral:
Nosso objetivo é eliminar o termo
na nova equação após a rotação. Para isso, precisamos escolher o ângulo
de rotação de maneira que o coeficiente do termo misto na nova equação seja zero.
Passo 4
Após substituir as expressões de
e
nas fórmulas da equação da cônica, vamos expandir e agrupar os termos. O coeficiente do termo
na nova equação será:
Queremos que
para eliminar o termo misto.
Passo 5
Para encontrar o ângulo
que zera
, usamos a condição:
Resolvendo essa equação, encontramos o ângulo necessário para a rotação que elimina o termo
na nova equação da cônica.
Passo 6
Com o ângulo
determinado, aplicamos as fórmulas de rotação para encontrar as novas coordenadas
:
Essas são as equações do novo sistema de coordenadas após a rotação.
Resposta
O novo sistema de coordenadas é dado por:
onde
satisfaz
.
A equação da cônica no novo sistema, sem o termo misto
, fica:
onde os coeficientes
,
,
,
são determinados após a substituição e simplificação das fórmulas de rotação.