Sejam W o subespaço vetorial de P3(R) gerado por
B=-5+t-2 t^2+t^3, 1+2 t-t^2-2 t^3
e a transformação linear T: W P2(R), definida por
T(p(t))=2 p^prime(t)+p(0)(t-1)
Suponha que C seja uma base de P2(R) tal que
[T]B, C=[rr 1 & 2 4 & 1 -1 & 4 ]
Encontre uma base para o núcleo e uma base para a imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço vetorial de gerado por dois polinômios dados. Além disso, temos uma transformação linear que mapeia elementos de para . A matriz dessa transformação em relação às bases dadas é fornecida. Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo (conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) e uma base para a imagem (conjunto de vetores que são resultados da transformação). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, matrizes de transformação, núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear [T]B, C = 1 & 2 4 & 1 -1 & 4 consiste em todos os vetores tais que . Já a imagem de é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando a algum vetor de .
Como temos a matriz de em relação às bases e , podemos usar essa matriz para facilitar nossos cálculos. A matriz dada é:

Passo 3

Vamos começar encontrando o núcleo de x y . Para isso, precisamos resolver a equação 0 0 0 , onde 1x + 2y = 0 4x + 1y = 0 -1x + 4y = 0 e são as coordenadas de um vetor em em relação à base .
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar x = -2y e 4(-2y) + y = 0 -8y + y = 0 -7y = 0 y = 0 .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, . Portanto, a única solução é e .

Passo 5

Como a única solução é o vetor nulo, isso significa que o núcleo de é trivial, ou seja, contém apenas o vetor zero. Portanto, não há vetores não nulos em que são mapeados para zero por .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de 1 & 2 4 & 1 -1 & 4 . A imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz de .
A matriz de é:
Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.

Passo 7

Para verificar a independência linear, vamos resolver 1 4 -1 .
Isso nos dá o sistema:
2 1 4
Resolvendo a primeira equação para 0 0 0 :
1a + 2b = 0 4a + 1b = 0 -1a + 4b = 0
Substituindo na segunda equação:
a = -2b
Como a única solução é 4(-2b) + b = 0 -8b + b = 0 -7b = 0 b = 0 Rightarrow a = 0 e , as colunas são linearmente independentes.

Passo 8

Como as colunas são linearmente independentes, a imagem de 1 4 -1 , 2 1 4 é um espaço gerado por essas duas colunas. Portanto, a imagem de tem dimensão 2, e uma base para a imagem é formada pelas colunas da matriz de :

Resposta

Uma base para o núcleo de 1 4 -1 é 2 1 4 e uma base para a imagem de é formada pelos vetores e .

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