Determine um vetor não nulo que seja ortogonal ao plano que contém os pontos A=(0,-2,1), B=(1,-1,-2) e C=(-1,1,0).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar um vetor não nulo que seja ortogonal ao plano formado pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores e produtos vetoriais, que nos ajudarão a determinar tal vetor ortogonal.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano definido pelos pontos AB = B - A = (1-0, -1 - (-2), -2 - 1) = (1, 1, -3) , AC = C - A = (-1-0, 1 - (-2), 0 - 1) = (-1, 3, -1) e . Podemos fazer isso calculando os vetores e .

Passo 3

Agora que temos os vetores AB times AC = i & j & k 1 & 1 & -3 -1 & 3 & -1 e AB times AC = i(1 cdot (-1) - (-3) cdot 3) - j(1 cdot (-1) - (-3) cdot (-1)) + k(1 cdot 3 - 1 cdot (-1)) , podemos encontrar um vetor ortogonal ao plano usando o produto vetorial entre esses dois vetores. O produto vetorial de = i(-1 + 9) - j(-1 - 3) + k(3 + 1) e = i(8) - j(-4) + k(4) nos dará um vetor perpendicular ao plano.
= (8, 4, 4)
Calculando o determinante:

Passo 4

Podemos simplificar o vetor resultante dividindo cada componente por 4:
(8, 4, 4) = 4 cdot (2, 1, 1)
Portanto, o vetor também é ortogonal ao plano, e é não nulo.

Resposta

Um vetor não nulo ortogonal ao plano é .

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