Qual é o volume do cubo determinado pelos vetores canônicos ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: Qual é o volume do cubo determinado pelos vetores canônicos ? Isso envolve geometria vetorial, especificamente o cálculo de volume usando vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o volume usando o produto misto dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre os vetores canônicos. No espaço tridimensional, temos três vetores básicos: , e (geralmente representado por ). Cada um desses vetores tem magnitude 1 e aponta nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente. Eles são perpendiculares entre si, formando um sistema de coordenadas ortonormal.

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do cubo formado por esses vetores, usamos o conceito de produto misto. O produto misto de três vetores , e é calculado pelo determinante da matriz que tem esses vetores como colunas:
No caso dos vetores canônicos, queremos encontrar o determinante da matriz:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
O valor absoluto do determinante nos dá o volume do cubo.

Resposta

O volume do cubo determinado pelos vetores canônicos é 1 unidade cúbica.

Exercícios relacionados

Sabendo que e que e determinam um ângulo de , calcule:
(a)
(b) .
Uma onda tem uma frequência angular de e comprimento de anda de 0,5 m. Calcule:
b) a velocidade da onda.
Determine um vetor não nulo que seja ortogonal ao plano que contém os pontos e .
Sendo e , calcule e .