Sabendo que |u|=2 raiz2,|v|=4 e que u e v determinam um ângulo de pi4 rad, calcule:
(a) |2 u times v|
(b) |25 u times 12 v|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas vetores, e , com normas e respectivamente, e o ângulo entre eles é radianos. A gente vai usar o conteúdo de Produto Vetorial para calcular as normas dos vetores resultantes nos itens (a) e (b). Vamos precisar lembrar que a norma do produto vetorial de dois vetores é dada por , onde é o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do produto vetorial |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(pi4) . Usando a fórmula que mencionei:
|u times v| = 2raiz2 cdot 4 cdot raiz22
Sabemos que , e . Substituindo esses valores:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, multiplique 2raiz2 cdot 4 = 8raiz2 :
8raiz2 cdot raiz22 = 8 cdot 22 = 8 cdot 1 = 8
Agora, multiplique pelo :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos resolver o item (a): |2 u times v| = |2 u| cdot |v| cdot sin(pi4) .
Aqui, temos um vetor |2 u times v| = 4raiz2 cdot 4 cdot raiz22 multiplicado por 2 antes de fazer o produto vetorial com . Quando a gente multiplica um vetor por uma constante, a norma dele também é multiplicada por essa constante.
Então, considerando que , vamos usar a fórmula do produto vetorial novamente:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, multiplique 4raiz2 cdot 4 = 16raiz2 :
16raiz2 cdot raiz22 = 16 cdot 22 = 16 cdot 1 = 16
Agora, multiplique pelo :
Então, .

Resposta

(a)

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