Determine: o vetor normal e a curvatura de r(t) = (t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)), t > 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o vetor normal e a curvatura da curva definida por para . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e fórmulas de curvatura. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de e aplicar as fórmulas apropriadas para encontrar o vetor normal e a curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que é . A derivada de um vetor função é obtida derivando cada componente em relação a .
Calculando cada componente:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é . Novamente, derivamos cada componente de em relação a .
Calculando cada componente:
Então,

Passo 4

Para encontrar o vetor normal, precisamos primeiro calcular o produto vetorial entre e , ou seja, .
Vamos calcular esse produto vetorial:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Para :
Para :
Para :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma desse produto vetorial, ou seja, .

Passo 6

Além disso, precisamos calcular a norma da primeira derivada :

Passo 7

Agora, podemos calcular a curvatura usando a fórmula:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

O vetor normal é e a curvatura da curva é .

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