Determine: o vetor normal e a curvatura de
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o vetor normal e a curvatura da curva definida por para
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e fórmulas de curvatura. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de
e aplicar as fórmulas apropriadas para encontrar o vetor normal e a curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que é
. A derivada de um vetor função é obtida derivando cada componente em relação a
.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, que é
. Novamente, derivamos cada componente de
em relação a
.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 4
Para encontrar o vetor normal, precisamos primeiro calcular o produto vetorial entre
e
, ou seja,
.
Vamos calcular esse produto vetorial:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma desse produto vetorial, ou seja,
.
Passo 6
Além disso, precisamos calcular a norma da primeira derivada
:
Passo 7
Agora, podemos calcular a curvatura
usando a fórmula:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
O vetor normal é e a curvatura da curva é
.