Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 3 , para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar indução matemática para mostrar que
é divisível por 3 para todo número natural
. A indução matemática é uma técnica que nos ajuda a provar afirmações para todos os números naturais, começando com um caso base e depois mostrando que se funciona para um caso, também funciona para o próximo.
Passo 2
Caso Base: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando:
Como 3 é divisível por 3, o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Passo 4
Passo de Indução: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
.
Vamos calcular
:
Podemos reescrever isso como:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Substituindo:
Isso mostra que
também é divisível por 3, porque é igual a 3 vezes um número inteiro.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
,
é divisível por 3.
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Use as propriedades de potência para reescrever e simplificar a expressão:
(b)
(b)
Determine: o vetor normal e a curvatura de
;
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 3 , para
.
Encontre o valor exato de cada expressão
(d)
(d)