Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é divisível por 3 , para .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar indução matemática para mostrar que é divisível por 3 para todo número natural . A indução matemática é uma técnica que nos ajuda a provar afirmações para todos os números naturais, começando com um caso base e depois mostrando que se funciona para um caso, também funciona para o próximo.

Passo 2

Caso Base: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para .
Calculando:
Como 3 é divisível por 3, o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
éí
Isso significa que existe um número inteiro tal que:

Passo 4

Passo de Indução: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para .
Vamos calcular :
Podemos reescrever isso como:
Pela hipótese de indução, sabemos que . Substituindo:
Isso mostra que também é divisível por 3, porque é igual a 3 vezes um número inteiro.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo , é divisível por 3.

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(d)