Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que provar, usando o método da indução matemática, que para todo número natural maior ou igual a 4, o fatorial de ( ) é pelo menos igual a . A matéria que vamos usar aqui é a indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número natural .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando . Calculamos e :
Como , a base da indução é verdadeira.

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum . Isso significa que estamos supondo que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução for verdadeira para , então ela também será verdadeira para . Ou seja, precisamos provar que:
Começamos expandindo :

Passo 5

Usando a hipótese de indução , substituímos na expressão:
Agora, queremos mostrar que isso é pelo menos :
Simplificando o lado direito:
Então, precisamos que:
Dividindo ambos os lados por (que é positivo):
Isso é sempre verdade para , já que .

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo , temos que .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de cada função usando o gráfico de uma das funções básicas que já vimos e aplicando transformações apropriadas (translação e/ou reflexão).
(g)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Determine: o vetor normal e a curvatura de ;
Use as propriedades de potência para reescrever e simplificar a expressão:
(b)