Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que provar, usando o método da indução matemática, que para todo número natural
maior ou igual a 4, o fatorial de
(
) é pelo menos igual a
. A matéria que vamos usar aqui é a indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número natural
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando
. Calculamos
e
:
Como
, a base da indução é verdadeira.
Passo 3
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
. Isso significa que estamos supondo que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução for verdadeira para
, então ela também será verdadeira para
. Ou seja, precisamos provar que:
Começamos expandindo
:
Passo 5
Usando a hipótese de indução
, substituímos na expressão:
Agora, queremos mostrar que isso é pelo menos
:
Simplificando o lado direito:
Então, precisamos que:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo):
Isso é sempre verdade para
, já que
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
, temos que
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de cada função usando o gráfico de uma das funções básicas que já vimos e aplicando transformações apropriadas (translação e/ou reflexão).
(g)
(g)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Determine: o vetor normal e a curvatura de
;
Use as propriedades de potência para reescrever e simplificar a expressão:
(b)
(b)