Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor do parâmetro t dado.
r(t) = <raiz(t), t - t^2, arctg(t)>, t = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário T(t) para a curva definida por no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normalização.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função vetor r(t) em relação a t, que nos dá o vetor tangente . Cada componente de r(t) será derivada individualmente:

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
Então, o vetor tangente é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor tangente no ponto . Substituindo na expressão de :

Passo 5

Para obter o vetor tangente unitário T(t), precisamos normalizar . A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :

Resposta

Portanto, o vetor tangente unitário no ponto é:
Ou, simplificando:

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