Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, então a gente precisa reparametrizar a curva dada pelo comprimento de arco. Isso quer dizer que, ao invés de usar o parâmetro
para descrever a posição na curva, vamos usar o próprio comprimento da curva a partir de um ponto inicial. Para fazer isso, vamos precisar saber umas paradas de cálculo, como derivadas e integrais, pra encontrar essa relação entre
e o comprimento do arco.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a curva que a gente tem:
O próximo passo é achar a derivada dessa função em relação a
, que nos dá a velocidade da curva.
Passo 3
Calculando a derivada:
Essa derivada mostra como cada componente da curva está mudando conforme
varia.
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que é a velocidade escalar da curva:
Simplificando:
Legal, então a magnitude da velocidade é constante, igual a
.
Passo 5
O próximo passo é encontrar a função comprimento de arco
, que é a integral da velocidade:
Considerando que
, a constante
é zero, então:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para
em função de
:
Então, substituímos
na expressão original da curva para obter a reparametrização.
Passo 7
Substituindo
na curva
:
Simplificando:
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco é:
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Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado
:
a) ;
a)
Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado
:
d) .
d)