Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
a) vec{r}(t) = (cos(2t), sen(2t), 2t);

Passo 1

Beleza, então a gente precisa reparametrizar a curva dada pelo comprimento de arco. Isso quer dizer que, ao invés de usar o parâmetro para descrever a posição na curva, vamos usar o próprio comprimento da curva a partir de um ponto inicial. Para fazer isso, vamos precisar saber umas paradas de cálculo, como derivadas e integrais, pra encontrar essa relação entre e o comprimento do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a curva que a gente tem:
O próximo passo é achar a derivada dessa função em relação a , que nos dá a velocidade da curva.

Passo 3

Calculando a derivada:
Essa derivada mostra como cada componente da curva está mudando conforme varia.

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que é a velocidade escalar da curva:
Simplificando:
Legal, então a magnitude da velocidade é constante, igual a .

Passo 5

O próximo passo é encontrar a função comprimento de arco , que é a integral da velocidade:
Considerando que , a constante é zero, então:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para em função de :
Então, substituímos na expressão original da curva para obter a reparametrização.

Passo 7

Substituindo na curva :
Simplificando:

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco é:

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