Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado t: r(t) = (t e^(-t), 2 arctg(t), 2 e^(t)), t=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial e o ponto que interessa é quando . Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor tangente unitário nesse ponto. Isso envolve calcular a derivada da função vetorial para achar a direção da tangente e depois normalizar esse vetor para que ele tenha módulo igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial vec(r)(t). A derivada vetorial, , dá a taxa de variação da posição em relação a t, ou seja, a direção da tangente.
Vamos derivar cada componente:
  1. Para , usamos a regra do produto:
  1. Para , lembrando que a derivada de é :
  1. Para , a derivada é direta:
Então, a derivada vetorial fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar em para encontrar o vetor tangente no ponto específico:

Passo 4

Próximo passo é normalizar esse vetor, ou seja, encontrar um vetor na mesma direção, mas com módulo igual a 1. Para isso, calculamos o módulo de :

Passo 5

Finalmente, dividimos cada componente de pelo módulo que calculamos para obter o vetor tangente unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é .

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