Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado : ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial e o ponto que interessa é quando . Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor tangente unitário nesse ponto. Isso envolve calcular a derivada da função vetorial para achar a direção da tangente e depois normalizar esse vetor para que ele tenha módulo igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial . A derivada vetorial, , dá a taxa de variação da posição em relação a , ou seja, a direção da tangente.
Vamos derivar cada componente:
Para , usamos a regra do produto:
Para , lembrando que a derivada de é :
Para , a derivada é direta:
Então, a derivada vetorial fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar em para encontrar o vetor tangente no ponto específico:
Passo 4
Próximo passo é normalizar esse vetor, ou seja, encontrar um vetor na mesma direção, mas com módulo igual a 1. Para isso, calculamos o módulo de :
Passo 5
Finalmente, dividimos cada componente de pelo módulo que calculamos para obter o vetor tangente unitário: