Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado : ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial e o ponto que interessa é quando . Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor tangente unitário nesse ponto. Isso envolve calcular a derivada da função vetorial para achar a direção da tangente e depois normalizar esse vetor para que ele tenha módulo igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial . A derivada vetorial, , dá a taxa de variação da posição em relação a , ou seja, a direção da tangente.
Vamos derivar cada componente:
  1. Para , usamos a regra do produto:
  1. Para , lembrando que a derivada de é :
  1. Para , a derivada é direta:
Então, a derivada vetorial fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar em para encontrar o vetor tangente no ponto específico:

Passo 4

Próximo passo é normalizar esse vetor, ou seja, encontrar um vetor na mesma direção, mas com módulo igual a 1. Para isso, calculamos o módulo de :

Passo 5

Finalmente, dividimos cada componente de pelo módulo que calculamos para obter o vetor tangente unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel , quando o parâmetro varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
A meia-vida do paládio-100, , é quatro dias. (Assim, metade de qualquer quantidade dada de se desintegrará em quatro dias.) A massa inicial de uma amostra é uma grama.
(a) Encontre a massa remanescente após 16 dias.
Resolva as seguintes inequações
©
Resolva as seguintes inequações
(g)