Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel , quando o parâmetro varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de Geometria Analítica, onde precisamos esboçar o gráfico de duas curvas diferentes descritas por um ponto móvel à medida que o parâmetro varia em certos intervalos. Além disso, vamos encontrar a equação cartesiana de cada uma dessas curvas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização de curvas e como converter essas parametrizações para a forma cartesiana.
Passo 2
Vamos começar com a primeira curva. A parametrização dada é:
Aqui, x = 4 cos(t) y = 4 sen(t), 0 <= t <= 2pi z = 2 é o parâmetro que varia de a . Vamos ignorar a coordenada por enquanto, já que estamos focando em e .
Passo 3
Para encontrar a equação cartesiana dessa curva, queremos eliminar o parâmetro x = 4 cos(t) e y = 4 sen(t) . Sabemos que:
Uma identidade trigonométrica que podemos usar é:
Passo 4
Vamos manipular as equações para usar essa identidade. Primeiro, dividimos x4 = cos(t) e y4 = sen(t) e (x4)^2 = cos^2(t) e (y4)^2 = sen^2(t) por 4:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Somando as duas equações:
Simplificando:
(x4)^2 + (y4)^2 = cos^2(t) + sen^2(t) = 1
Ou seja:
x^216 + y^216 = 1
Passo 6
Essa é a equação cartesiana de um círculo com raio 4 e centro na origem. Então, ao variar de a , o ponto descreve esse círculo.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda curva. A parametrização dada é:
x = t + 1 y = t^2 + 4, -infty < t < +infty z = 2
Novamente, vamos focar em e .
Passo 8
Nosso objetivo é encontrar a equação cartesiana relacionando x = t + 1 Rightarrow t = x - 1 e . Começamos expressando em termos de :
Passo 9
Agora, substituímos y = (x - 1)^2 + 4 na equação de :
Passo 10
Essa é a equação cartesiana de uma parábola. Mais especificamente, é uma parábola que abre para cima, com o vértice deslocado para o ponto .
Passo 11
Para esboçar as duas curvas:
Círculo: Desenhe um círculo com raio 4 centrado na origem.
Parábola: Desenhe uma parábola que abre para cima, passando pelo vértice .
Resposta
A curva descrita pela primeira parametrização é um círculo de raio 4 centrado na origem, com equação cartesiana . A curva descrita pela segunda parametrização é uma parábola que abre para cima, com vértice em e equação cartesiana .