Seja f: (0, infinito) -> R dada por:
f(x) = x^3 ln(x) - x^3 / 3
Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir em quais intervalos a função está aumentando ou diminuindo. Vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas, para analisar a monotonicidade da função. Precisaremos calcular a derivada de e ver onde essa derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Usaremos a regra do produto para derivar e a regra básica para derivar .
A derivada de é:

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Aqui, usamos a regra do produto onde a derivada de é , com e .
Segundo termo:
Então, juntando os dois:

Passo 4

Agora, precisamos determinar onde é positivo ou negativo.
Sabemos que é sempre positivo para . Então, o sinal de depende de :
  • Se então (função crescente).
  • Se então (função decrescente).
Sabemos que quando .
Então:
  • Para , é crescente.
  • Para , é decrescente.

Resposta

A função é crescente no intervalo e decrescente no intervalo .

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