Seja
dada por:
Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir em quais intervalos a função
está aumentando ou diminuindo. Vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas, para analisar a monotonicidade da função. Precisaremos calcular a derivada de
e ver onde essa derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Usaremos a regra do produto para derivar
e a regra básica para derivar
.
A derivada de
é:
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Aqui, usamos a regra do produto onde a derivada de
é
, com
e
.
Segundo termo:
Então, juntando os dois:
Passo 4
Agora, precisamos determinar onde
é positivo ou negativo.
Sabemos que
é sempre positivo para
. Então, o sinal de
depende de
:
- Se
então (função crescente). - Se
então (função decrescente).
Sabemos que
quando
.
Então:
- Para
, ⇒ ⇒ é crescente. - Para
, ⇒ ⇒ é decrescente.
Resposta
A função
é crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
.
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Verifique se a função
é solução da equação diferencial ordinária
.
Encontre uma função de duas ou três variáveis
, tal que
:
;
Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo:
.
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO