Verdadeiro ou falso. Justifique. Considere A e B são matrizes quadradas de mesma ordem. A B=A C Rightarrow B=C

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. A questão nos apresenta duas matrizes quadradas, e , de mesma ordem, e afirma que se , então . Precisamos decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar nossa resposta. Para isso, vamos precisar entender sobre multiplicação de matrizes e condição de invertibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente não é igual a . Além disso, se uma matriz possui uma matriz inversa , podemos “desfazer” a multiplicação de multiplicando ambos os lados da equação por .

Passo 3

Aplicando isso à nossa equação A^-1 times (A times B) = A^-1 times (A times C) , se I times B = I times C for invertível, multiplicamos ambos os lados por B = C :
Como (a matriz identidade), temos:
E, como qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:
Então, nesse caso, a afirmação seria verdadeira.

Passo 4

No entanto, o enunciado não nos diz que A = 1 & 0 0 & 0 , B = 1 & 2 3 & 4 , C = 1 & 2 5 & 6 é invertível. Se A times B = 1 & 2 0 & 0 , A times C = 1 & 2 0 & 0 não for invertível (ou seja, se o determinante de for zero), então não podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de porque ela não existe. Nesse caso, a igualdade não garante que .
Por exemplo, suponha que:
Calculando e :
Aqui, , mas claramente .

Resposta

A afirmação é falsa, pois sem a condição de que é invertível, não podemos concluir que .

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