Verdadeiro ou falso. Justifique. Considere
e
são matrizes quadradas de mesma ordem.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. A questão nos apresenta duas matrizes quadradas,
e
, de mesma ordem, e afirma que se
, então
. Precisamos decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar nossa resposta. Para isso, vamos precisar entender sobre multiplicação de matrizes e condição de invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
geralmente não é igual a
. Além disso, se uma matriz
possui uma matriz inversa
, podemos “desfazer” a multiplicação de
multiplicando ambos os lados da equação por
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa equação
, se
for invertível, multiplicamos ambos os lados por
:
Como
(a matriz identidade), temos:
E, como qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:
Então, nesse caso, a afirmação seria verdadeira.
Passo 4
No entanto, o enunciado não nos diz que
é invertível. Se
não for invertível (ou seja, se o determinante de
for zero), então não podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de
porque ela não existe. Nesse caso, a igualdade
não garante que
.
Por exemplo, suponha que:
Calculando
e
:
Aqui,
, mas claramente
.
Resposta
A afirmação é falsa, pois sem a condição de que
é invertível, não podemos concluir que
.