Determine um vetor ù tal que , onde v=(1,1,0) e w=(2,1,-1).
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar um vetor u que satisfaça três condições:
O produto escalar de u com v seja igual a 1.
O produto escalar de u com w também seja igual a 1.
O comprimento (ou módulo) de u seja √22.
Os vetores dados são v = (1, 1, 0) e w = (2, 1, -1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produtos escalares e o cálculo do módulo de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃), o produto escalar a • b é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Também, o módulo de um vetor a é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Passo 3
Vamos chamar o vetor u de (x, y, z). As condições que precisamos satisfazer são:
u • v = 1
u • w = 1
|\mathbf{u}| = √22
Vamos escrever essas equações usando as fórmulas que lembramos.
Passo 4
Primeira condição:
u cdot v = x cdot 1 + y cdot 1 + z cdot 0 = x + y = 1 (Equação 1) çã
Segunda condição:
u cdot w = x cdot 2 + y cdot 1 + z cdot (-1) = 2x + y - z = 1 (Equação 2) çã