Determine um vetor ù tal que baru cdot v=u cdot w=1 e|u|=raiz22, onde v=(1,1,0) e w=(2,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar um vetor u que satisfaça três condições:
  1. O produto escalar de u com v seja igual a 1.
  2. O produto escalar de u com w também seja igual a 1.
  3. O comprimento (ou módulo) de u seja √22.
Os vetores dados são v = (1, 1, 0) e w = (2, 1, -1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produtos escalares e o cálculo do módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃), o produto escalar ab é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Também, o módulo de um vetor a é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2

Passo 3

Vamos chamar o vetor u de (x, y, z). As condições que precisamos satisfazer são:
  1. uv = 1
  2. uw = 1
  3. |\mathbf{u}| = √22
Vamos escrever essas equações usando as fórmulas que lembramos.

Passo 4

Primeira condição:
u cdot v = x cdot 1 + y cdot 1 + z cdot 0 = x + y = 1 (Equação 1) çã
Segunda condição:
u cdot w = x cdot 2 + y cdot 1 + z cdot (-1) = 2x + y - z = 1 (Equação 2) çã
Terceira condição:
|u| = raizx^2 + y^2 + z^2 = raiz22 Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 22 (Equação 3) çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. x + y = 1
  2. 2x + y - z = 1
  3. x² + y² + z² = 22
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Da Equação 1, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar y:
y = 1 - x (Equação 4) çã

Passo 7

Agora, substituímos y da Equação 4 na Equação 2 para encontrar z:
2x + (1 - x) - z = 1 2x + 1 - x - z = 1 x + 1 - z = 1 x - z = 0 z = x (Equação 5) çã

Passo 8

Agora que temos y e z em termos de x (Equações 4 e 5), substituímos ambos na Equação 3 para encontrar o valor de x:
x^2 + (1 - x)^2 + (x)^2 = 22 x^2 + (1 - 2x + x^2) + x^2 = 22 x^2 + 1 - 2x + x^2 + x^2 = 22 3x^2 - 2x + 1 = 22 3x^2 - 2x - 21 = 0

Passo 9

Agora, temos uma equação quadrática em x:
3x^2 - 2x - 21 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 3, b = -2, e c = -21.
Calculando o discriminante:
De
Então,
x = 2 pm raiz2566 = 2 pm 166
Isso nos dá duas soluções para x:

Passo 10

Vamos agora encontrar os valores correspondentes de y e z para cada valor de x.
Primeira solução (x = 3):
Usando Equação 4:
y = 1 - 3 = -2
Usando Equação 5:
z = 3
Segunda solução (x = -7/3):
Usando Equação 4:
y = 1 - (-73) = 1 + 73 = 103
Usando Equação 5:
z = -73

Passo 11

Vamos verificar se ambas as soluções satisfazem a Equação 3 (|\mathbf{u}| = √22).
Primeira solução (u = (3, -2, 3)):
|u| = raiz3^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz9 + 4 + 9 = raiz22
Segunda solução (u = (-7/3, 10/3, -7/3)):
|u| = raiz(-73)^2 + (103)^2 + (-73)^2 = raiz499 + 1009 + 499 = raiz1989 = raiz22
Ambas as soluções satisfazem as condições dadas.

Resposta

Existem dois vetores que satisfazem as condições da questão:

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