Determine um vetor ù tal que , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar um vetor u que satisfaça três condições:
  1. O produto escalar de u com v seja igual a 1.
  2. O produto escalar de u com w também seja igual a 1.
  3. O comprimento (ou módulo) de u seja √22.
Os vetores dados são v = (1, 1, 0) e w = (2, 1, -1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produtos escalares e o cálculo do módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃), o produto escalar ab é dado por:
Também, o módulo de um vetor a é:

Passo 3

Vamos chamar o vetor u de (x, y, z). As condições que precisamos satisfazer são:
  1. uv = 1
  2. uw = 1
  3. |\mathbf{u}| = √22
Vamos escrever essas equações usando as fórmulas que lembramos.

Passo 4

Primeira condição:
çã
Segunda condição:
çã
Terceira condição:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. x + y = 1
  2. 2x + y - z = 1
  3. x² + y² + z² = 22
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Da Equação 1, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar y:
çã

Passo 7

Agora, substituímos y da Equação 4 na Equação 2 para encontrar z:
çã

Passo 8

Agora que temos y e z em termos de x (Equações 4 e 5), substituímos ambos na Equação 3 para encontrar o valor de x:

Passo 9

Agora, temos uma equação quadrática em x:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde a = 3, b = -2, e c = -21.
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções para x:

Passo 10

Vamos agora encontrar os valores correspondentes de y e z para cada valor de x.
Primeira solução (x = 3):
Usando Equação 4:
Usando Equação 5:
Segunda solução (x = -7/3):
Usando Equação 4:
Usando Equação 5:

Passo 11

Vamos verificar se ambas as soluções satisfazem a Equação 3 (|\mathbf{u}| = √22).
Primeira solução (u = (3, -2, 3)):
Segunda solução (u = (-7/3, 10/3, -7/3)):
Ambas as soluções satisfazem as condições dadas.

Resposta

Existem dois vetores que satisfazem as condições da questão:

Exercícios relacionados

Ex. 3.5 - Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são e . Ache também a área do triângulo.
Sejam , .
Calcule , onde é o ângulo entre e .
  1. Dados e , determine os vetores tais que:
    e .