Beleza, vamos por partes! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar um vetor u que satisfaça três condições:
O produto escalar de u com v seja igual a 1.
O produto escalar de u com w também seja igual a 1.
O comprimento (ou módulo) de u seja √22.
Os vetores dados são v = (1, 1, 0) e w = (2, 1, -1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produtos escalares e o cálculo do módulo de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃), o produto escalar a • b é dado por:
Também, o módulo de um vetor a é:
Passo 3
Vamos chamar o vetor u de (x, y, z). As condições que precisamos satisfazer são:
u • v = 1
u • w = 1
|\mathbf{u}| = √22
Vamos escrever essas equações usando as fórmulas que lembramos.
Passo 4
Primeira condição:
çã
Segunda condição:
çã
Terceira condição:
çã
Passo 5
Agora, temos um sistema de três equações:
x + y = 1
2x + y - z = 1
x² + y² + z² = 22
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 6
Da Equação 1, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar y:
çã
Passo 7
Agora, substituímos y da Equação 4 na Equação 2 para encontrar z:
çã
Passo 8
Agora que temos y e z em termos de x (Equações 4 e 5), substituímos ambos na Equação 3 para encontrar o valor de x:
Passo 9
Agora, temos uma equação quadrática em x:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde a = 3, b = -2, e c = -21.
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções para x:
Passo 10
Vamos agora encontrar os valores correspondentes de y e z para cada valor de x.
Primeira solução (x = 3):
Usando Equação 4:
Usando Equação 5:
Segunda solução (x = -7/3):
Usando Equação 4:
Usando Equação 5:
Passo 11
Vamos verificar se ambas as soluções satisfazem a Equação 3 (|\mathbf{u}| = √22).
Primeira solução (u = (3, -2, 3)):
Segunda solução (u = (-7/3, 10/3, -7/3)):
Ambas as soluções satisfazem as condições dadas.
Resposta
Existem dois vetores que satisfazem as condições da questão: