Os pontos A, B e C são colineares e o ponto B=(-4,1) está situado a 35 da distância que vai de A=(2,2) a C=(x, y). Determinar o ponto C. Resp. C=(-8,3)

Passo 1

Então, a gente tem três pontos que estão na mesma reta: A, B e C. O ponto A está em (2,2), o ponto B em (-4,1), e a gente precisa encontrar as coordenadas do ponto C. Sabemos também que o ponto B está a da distância de A até C. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente o conceito de divisão de segmentos em partes proporcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que B está a da distância de A até C. Isso quer dizer que a distância de A até B é da distância total de A até C. Portanto, a distância de B até C será o restante, que é .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da divisão de um segmento em uma razão específica. Se temos dois pontos A B = ( m x2 + n x1m + n, m y2 + n y1m + n ) e C , e queremos encontrar um ponto B que divide o segmento AC na razão m:n, a fórmula para as coordenadas de B é:
No nosso caso, B está dividindo AC na razão 3:2, já que da distância é de A a B e de B a C.

Passo 4

Vamos atribuir os valores à fórmula. Sabemos que A = (2,2), B = (-4,1), e a razão m:n é 3:2. Queremos encontrar C = (x, y).
Então, temos:
-4 = 3x + 2 cdot 23 + 2 e 1 = 3y + 2 cdot 23 + 2

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, para a coordenada x:
-4 = 3x + 45
Multiplicando ambos os lados por 5:
-20 = 3x + 4
Subtraindo 4 de ambos os lados:
-24 = 3x
Dividindo por 3:
x = -8
Agora, para a coordenada y:
1 = 3y + 45
Multiplicando ambos os lados por 5:
5 = 3y + 4
Subtraindo 4 de ambos os lados:
1 = 3y
Dividindo por 3:
y = 13

Resposta

O ponto C é .

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