Determine um vetor unitário ortogonal ao vetor u=(2,-6,3) e ao vetor v=(4,3,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores u = (2, -6, 3) e v = (4, 3, 1). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde falamos sobre vetores e como trabalhar com eles. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar vetores perpendiculares a dois vetores dados, e depois vamos normalizar esse vetor para torná-lo unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre u e v. O produto vetorial de dois vetores em 3 dimensões é um novo vetor que é perpendicular a ambos. A fórmula para o produto vetorial é:
u times v = ( u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 )
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
u times v = ( (-6) cdot 1 - 3 cdot 3, 3 cdot 4 - 2 cdot 1, 2 cdot 3 - (-6) cdot 4 )
Calculando cada componente:
u times v = ( -6 - 9, 12 - 2, 6 + 24 ) = ( -15, 10, 30 )

Passo 3

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, precisamos encontrar a magnitude (ou comprimento) desse vetor para poder transformá-lo em um vetor unitário. A fórmula para a magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor w = (-15, 10, 30):
|w| = raiz(-15)^2 + 10^2 + 30^2 = raiz225 + 100 + 900 = raiz1225 = 35

Passo 4

Por fim, para tornar nosso vetor w unitário, ou seja, com comprimento igual a 1, vamos dividir cada componente do vetor pela sua magnitude. A fórmula para normalizar é:
w = w|w|
Aplicando isso:
w = ( -1535, 1035, 3035 ) = ( -37, 27, 67 )

Resposta

Um vetor unitário ortogonal aos vetores u = (2, -6, 3) e v = (4, 3, 1) é:
w = ( -37, 27, 67 )

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