onde . Faça uma análise do número de soluções do sistema em função do parâmetro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações que mistura uma reta e uma circunferência:
Nosso objetivo é descobrir quantas soluções esse sistema tem dependendo do valor de . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre interseção entre retas e círculos. Vamos precisar analisar como a reta se comporta em relação à circunferência centrada em com raio .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  1. Reta : É uma linha reta com inclinação 2 e intercepto em .
  2. Circunferência : É um círculo centrado no ponto com raio .
Notamos que precisa ser um número real não negativo, já que representa o quadrado do raio.

Passo 3

Para encontrar as soluções do sistema, precisamos descobrir onde a reta e o círculo se cruzam. Isso é basicamente encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Vamos substituir a equação da reta na equação da circunferência para resolver em termos de .

Passo 4

Substituindo na equação do círculo:
Vamos expandir :

Passo 5

Agora, reorganizamos a equação para igualar a zero:
Essa é uma equação quadrática em . A quantidade de soluções reais dessa equação depende do discriminante , que é dado por:
Onde , , e .

Passo 6

Calculando o discriminante:

Passo 7

Agora, analisamos o discriminante :
  1. Se : A equação quadrática tem duas soluções reais e distintas. Isso significa que a reta intersecta o círculo em dois pontos.
  2. Se : A equação tem uma solução real dupla. A reta está tangente ao círculo, tocando-o em exatamente um ponto.
  3. Se : Não há soluções reais. A reta não intersecta o círculo.

Passo 8

Vamos encontrar os valores de que separam esses casos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Além disso, observamos que o raio deve ser real, o que implica que . Portanto, consideramos apenas valores de não negativos.

Passo 10

Resumindo:
  • Para : A reta e o círculo se intersectam em dois pontos.
  • Para : A reta é tangente ao círculo, tocando-o em exatamente um ponto.
  • Para : A reta não intercepta o círculo.

Resposta

O sistema tem:
  • Duas soluções quando ,
  • Uma solução quando ,
  • Nenhuma solução quando .

Exercícios relacionados

Determine um vetor unitário ortogonal ao vetor e ao vetor .
Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de (conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
(a) formado por todas as matrizes diagonais;
Encontre as coordenadas dos pontos que resulta na trissecção da distância entre e (-1,7).
Dica: Podemos usa o método de interpolação linear, onde consideramos a fórmula , onde e são as coordenadas x dos dois pontos conhecidos, t é o fator de interpolação, ou seja, a posição relativa do ponto intermediário entre dois pontos conhecidos, e o número de partes em que o segmento é dividido .
Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial . Mostre que
é um subespaço vetorial de .