l y=2 x+1 (x-2)^2+(y-1)^2=r
onde r in R. Faça uma análise do número de soluções do sistema em função do parâmetro r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações que mistura uma reta e uma circunferência:
l y = 2x + 1 (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = r
Nosso objetivo é descobrir quantas soluções esse sistema tem dependendo do valor de . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre interseção entre retas e círculos. Vamos precisar analisar como a reta se comporta em relação à circunferência centrada em com raio .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  1. Reta : É uma linha reta com inclinação 2 e intercepto em .
  2. Circunferência : É um círculo centrado no ponto com raio .
Notamos que precisa ser um número real não negativo, já que representa o quadrado do raio.

Passo 3

Para encontrar as soluções do sistema, precisamos descobrir onde a reta e o círculo se cruzam. Isso é basicamente encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Vamos substituir a equação da reta na equação da circunferência para resolver em termos de .

Passo 4

Substituindo (x - 2)^2 + (2x + 1 - 1)^2 = r (x - 2)^2 + (2x)^2 = r (x - 2)^2 + 4x^2 = r na equação do círculo:
x^2 - 4x + 4 + 4x^2 = r 5x^2 - 4x + 4 = r
Vamos expandir :

Passo 5

Agora, reorganizamos a equação para igualar a zero:
5x^2 - 4x + (4 - r) = 0
Essa é uma equação quadrática em De. A quantidade de soluções reais dessa equação depende do discriminante , que é dado por:
Onde , , e .

Passo 6

Calculando o discriminante:
De

Passo 7

Agora, analisamos o discriminante :
  1. Se : A equação quadrática tem duas soluções reais e distintas. Isso significa que a reta intersecta o círculo em dois pontos.
  2. Se : A equação tem uma solução real dupla. A reta está tangente ao círculo, tocando-o em exatamente um ponto.
  3. Se : Não há soluções reais. A reta não intersecta o círculo.

Passo 8

Vamos encontrar os valores de 20r - 64 = 0 20r = 64 r = 6420 r = 3,2 que separam esses casos:
  1. Para 20r - 64 > 0 20r > 64 r > 3,2 :
20r - 64 < 0 20r < 64 r < 3,2
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Além disso, observamos que o raio deve ser real, o que implica que . Portanto, consideramos apenas valores de não negativos.

Passo 10

Resumindo:
  • Para : A reta e o círculo se intersectam em dois pontos.
  • Para : A reta é tangente ao círculo, tocando-o em exatamente um ponto.
  • Para : A reta não intercepta o círculo.

Resposta

O sistema tem:
  • Duas soluções quando ,
  • Uma solução quando ,
  • Nenhuma solução quando .

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