onde
. Faça uma análise do número de soluções do sistema em função do parâmetro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações que mistura uma reta e uma circunferência:
Nosso objetivo é descobrir quantas soluções esse sistema tem dependendo do valor de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre interseção entre retas e círculos. Vamos precisar analisar como a reta
se comporta em relação à circunferência centrada em
com raio
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
- Reta
: É uma linha reta com inclinação 2 e intercepto em . - Circunferência
: É um círculo centrado no ponto com raio .
Notamos que
precisa ser um número real não negativo, já que representa o quadrado do raio.
Passo 3
Para encontrar as soluções do sistema, precisamos descobrir onde a reta e o círculo se cruzam. Isso é basicamente encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Vamos substituir a equação da reta na equação da circunferência para resolver em termos de
.
Passo 4
Substituindo
na equação do círculo:
Vamos expandir
:
Passo 5
Agora, reorganizamos a equação para igualar a zero:
Essa é uma equação quadrática em
. A quantidade de soluções reais dessa equação depende do discriminante
, que é dado por:
Onde
,
, e
.
Passo 6
Calculando o discriminante:
Passo 7
Agora, analisamos o discriminante
:
- Se
: A equação quadrática tem duas soluções reais e distintas. Isso significa que a reta intersecta o círculo em dois pontos. - Se
: A equação tem uma solução real dupla. A reta está tangente ao círculo, tocando-o em exatamente um ponto. - Se
: Não há soluções reais. A reta não intersecta o círculo.
Passo 8
Vamos encontrar os valores de
que separam esses casos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Além disso, observamos que o raio
deve ser real, o que implica que
. Portanto, consideramos apenas valores de
não negativos.
Passo 10
Resumindo:
- Para
: A reta e o círculo se intersectam em dois pontos. - Para
: A reta é tangente ao círculo, tocando-o em exatamente um ponto. - Para
: A reta não intercepta o círculo.
Resposta
O sistema tem:
- Duas soluções quando
, - Uma solução quando
, - Nenhuma solução quando
.
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e ao vetor
.
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(a)
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e
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e
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.