Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M2 times 2(R) (conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
(a) D2 times 2 formado por todas as matrizes diagonais;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto , formado por todas as matrizes diagonais de ordem 2 com entradas reais, é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos verificar três condições fundamentais: se o conjunto não está vazio, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se não está vazio. Para isso, precisamos encontrar pelo menos uma matriz que pertença a esse conjunto. A matriz zero é uma boa candidata, pois ela é uma matriz diagonal onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero.

Passo 3

A matriz zero em 0 & 0 0 & 0 é:
Como todas as entradas fora da diagonal principal são zero, essa matriz pertence a . Portanto, não está vazio.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é fechado sob a adição de matrizes. Ou seja, se tomarmos duas matrizes diagonais quaisquer e as somarmos, o resultado também deve ser uma matriz diagonal.

Passo 5

Sejam A = a & 0 0 & b , B = c & 0 0 & d e A + B = a + c & 0 + 0 0 + 0 & b + d = a + c & 0 0 & b + d duas matrizes diagonais em :
A soma é:
Como a soma resulta em uma matriz onde apenas as entradas da diagonal principal podem ser diferentes de zero, também é uma matriz diagonal. Portanto, é fechado sob adição.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se é fechado sob a multiplicação por um escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz diagonal por qualquer número real, o resultado também deve ser uma matriz diagonal.

Passo 7

Sejam A = a & 0 0 & b uma matriz diagonal em kA = ka & k cdot 0 k cdot 0 & kb = ka & 0 0 & kb e um escalar real:
A multiplicação por escalar é:
Como a matriz resultante ainda tem zeros fora da diagonal principal, também é uma matriz diagonal. Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Assim, verificamos que satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de . Portanto, o conjunto das matrizes diagonais de ordem 2 com entradas reais é, de fato, um subespaço vetorial de .

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