Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
(conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
(a)
formado por todas as matrizes diagonais;
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto
, formado por todas as matrizes diagonais de ordem 2 com entradas reais, é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos verificar três condições fundamentais: se o conjunto não está vazio, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
não está vazio. Para isso, precisamos encontrar pelo menos uma matriz que pertença a esse conjunto. A matriz zero é uma boa candidata, pois ela é uma matriz diagonal onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero.
Passo 3
A matriz zero em
é:
Como todas as entradas fora da diagonal principal são zero, essa matriz pertence a
. Portanto,
não está vazio.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob a adição de matrizes. Ou seja, se tomarmos duas matrizes diagonais quaisquer e as somarmos, o resultado também deve ser uma matriz diagonal.
Passo 5
Sejam
e
duas matrizes diagonais em
:
A soma
é:
Como a soma resulta em uma matriz onde apenas as entradas da diagonal principal podem ser diferentes de zero,
também é uma matriz diagonal. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob a multiplicação por um escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz diagonal por qualquer número real, o resultado também deve ser uma matriz diagonal.
Passo 7
Sejam
uma matriz diagonal em
e
um escalar real:
A multiplicação por escalar
é:
Como a matriz resultante ainda tem zeros fora da diagonal principal,
também é uma matriz diagonal. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de
. Portanto, o conjunto das matrizes diagonais de ordem 2 com entradas reais é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Faça um esboço dos seguintes planos:
(b)
(b)
(a)
(b)
(b)
Determine um vetor unitário ortogonal ao vetor
e ao vetor
.
onde
. Faça uma análise do número de soluções do sistema em função do parâmetro
.