Ex. 3.2 - Se
e
, encontre um vetor nāo nulo
tal que
.
Passo 1
Entendendo o Problema
Temos dois vetores no espaço tridimensional:
e
. Queremos encontrar um terceiro vetor,
, que não seja o vetor zero, de forma que ele seja ortogonal tanto a
quanto a
.
Conteúdo Envolvido:
- Produto Escalar (ou Produto Interno): Uma operação que, entre dois vetores, retorna um número real. Se o produto escalar for zero, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
- Vetores Ortogonais: Dois vetores são ortogonais se o ângulo entre eles é de 90 graus.
Vamos usar essas ideias para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar o vetor
.
Passo 2
Aplicando o Produto Escalar para Encontrar as Equações
Para que
seja ortogonal a
e
, os produtos escalares devem ser zero:
Vamos escrever essas equações de forma explícita. Seja
, então:
- Para
:
- Para
:
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas.
Passo 3
Resolvendo o Sistema de Equações
Como temos mais incógnitas do que equações, vamos parametrizar uma das variáveis. Vamos escolher
como parâmetro livre e chamar
, onde
é um número real qualquer.
Substituindo
nas equações anteriores:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
Agora, temos duas equações com duas incógnitas (
e
).
Passo 4
Encontrando
e
em Função de
Vamos resolver o sistema formado pelas equações (1) e (2):
- Da equação (2):
- Substituindo
na equação (1):
- Agora, substituindo
de volta na equação para :
Portanto, temos:
Passo 5
Escolhendo um Valor para
e Obtendo o Vetor
Para obter um vetor específico, podemos escolher um valor conveniente para
. Vamos escolher
para evitar frações:
Assim, temos:
Resposta
Um vetor não nulo que satisfaz as condições é
.
Exercícios relacionados
Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores
e
.
Sejam
e
matrizes quadradas
e
um escalar qualquer. Defina
(colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) (identidade de Jacobi)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F): (d)
é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada reduzida.