Ex. 3.2 - Se e , encontre um vetor nāo nulo tal que .

Passo 1

Entendendo o Problema
Temos dois vetores no espaço tridimensional: e . Queremos encontrar um terceiro vetor, , que não seja o vetor zero, de forma que ele seja ortogonal tanto a quanto a .
Conteúdo Envolvido:
  • Produto Escalar (ou Produto Interno): Uma operação que, entre dois vetores, retorna um número real. Se o produto escalar for zero, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
  • Vetores Ortogonais: Dois vetores são ortogonais se o ângulo entre eles é de 90 graus.
Vamos usar essas ideias para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar o vetor .

Passo 2

Aplicando o Produto Escalar para Encontrar as Equações
Para que seja ortogonal a e , os produtos escalares devem ser zero:
Vamos escrever essas equações de forma explícita. Seja , então:
  1. Para :
  1. Para :
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas.

Passo 3

Resolvendo o Sistema de Equações
Como temos mais incógnitas do que equações, vamos parametrizar uma das variáveis. Vamos escolher como parâmetro livre e chamar , onde é um número real qualquer.
Substituindo nas equações anteriores:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 4

Encontrando e em Função de
Vamos resolver o sistema formado pelas equações (1) e (2):
  1. Da equação (2):
  1. Substituindo na equação (1):
  1. Agora, substituindo de volta na equação para :
Portanto, temos:

Passo 5

Escolhendo um Valor para e Obtendo o Vetor
Para obter um vetor específico, podemos escolher um valor conveniente para . Vamos escolher para evitar frações:
Assim, temos:

Resposta

Um vetor não nulo que satisfaz as condições é .

Exercícios relacionados

Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores e .
Sejam e matrizes quadradas e um escalar qualquer. Defina (colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) (identidade de Jacobi)
Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F): (d) é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada reduzida.