Ex. 3.2 - Se u=(2,1,-1) e v=(1,-1,2), encontre um vetor nāo nulo w tal que u cdot w=v cdot w=0.

Passo 1

Entendendo o Problema
Temos dois vetores no espaço tridimensional: u = (2, 1, -1) e v = (1, -1, 2). Queremos encontrar um terceiro vetor, w, que não seja o vetor zero, de forma que ele seja ortogonal tanto a u quanto a v.
Conteúdo Envolvido:
  • Produto Escalar (ou Produto Interno): Uma operação que, entre dois vetores, retorna um número real. Se o produto escalar for zero, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
  • Vetores Ortogonais: Dois vetores são ortogonais se o ângulo entre eles é de 90 graus.
Vamos usar essas ideias para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar o vetor w.

Passo 2

Aplicando o Produto Escalar para Encontrar as Equações
Para que w seja ortogonal a u e v, os produtos escalares devem ser zero:
u cdot w = 0 v cdot w = 0
Vamos escrever essas equações de forma explícita. Seja w = (w1, w2, w3), então:
  1. Para u cdot w = 0:
2w1 + 1w2 - 1w3 = 0
  1. Para v cdot w = 0:
1w1 - 1w2 + 2w3 = 0
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas.

Passo 3

Resolvendo o Sistema de Equações
Como temos mais incógnitas do que equações, vamos parametrizar uma das variáveis. Vamos escolher w3 como parâmetro livre e chamar w3 = t, onde t é um número real qualquer.
Substituindo w3 = t nas equações anteriores:
  1. Primeira equação:
2w1 + w2 - t = 0 Rightarrow 2w1 + w2 = t (1)
  1. Segunda equação:
w1 - w2 + 2t = 0 Rightarrow w1 - w2 = -2t (2)
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( w1 e w2).

Passo 4

Encontrando w1 e w2 em Função de t
Vamos resolver o sistema formado pelas equações (1) e (2):
  1. Da equação (2):
w1 = w2 - 2t
  1. Substituindo w1 na equação (1):
2(w2 - 2t) + w2 = t 2w2 - 4t + w2 = t 3w2 = 5t w2 = 53t
  1. Agora, substituindo w2 de volta na equação para w1:
w1 = 53t - 2t = 53t - 63t = -13t
Portanto, temos:
w1 = -13t w2 = 53t w3 = t

Passo 5

Escolhendo um Valor para t e Obtendo o Vetor w
Para obter um vetor específico, podemos escolher um valor conveniente para t. Vamos escolher t = 3 para evitar frações:
w1 = -13 times 3 = -1 w2 = 53 times 3 = 5 w3 = 3
Assim, temos:
w = (-1, 5, 3)

Resposta

Um vetor não nulo que satisfaz as condições é w = (-1, 5, 3).

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