Prove que se
e
são linearmente independentes, e
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois vetores,
e
, que são linearmente independentes. Além disso, temos um terceiro vetor
que, quando fazemos o produto vetorial dele com
e com
, dá o vetor nulo, ou seja,
. A gente quer provar que, com essas condições, o vetor
também tem que ser o vetor nulo,
. Para isso, vamos usar conceitos de linearidade e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa linearmente independentes. Dois vetores
e
são linearmente independentes se a única solução para a combinação
é quando
. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 3
Agora, sobre o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. Se
, isso significa que
e
são paralelos ou um dos vetores é nulo. O mesmo vale para
.
Passo 4
Como
e
são linearmente independentes, eles não são paralelos. Então, se
é paralelo tanto a
quanto a
, a única possibilidade é que
seja o vetor nulo. Porque, se
fosse diferente de zero, ela não poderia ser paralela a dois vetores que não são múltiplos um do outro.
Passo 5
Formalizando isso, suponha que
. Então, existiriam escalares
e
tais que
e
. Isso implicaria que
e
são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente dependentes, o que contraria a hipótese inicial. Portanto, nossa suposição de que
está errada.
Resposta
Logo,
.