Prove que se u e v são linearmente independentes, e w wed>= u=w wed>= v=0 então w=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois vetores, u e v, que são linearmente independentes. Além disso, temos um terceiro vetor w que, quando fazemos o produto vetorial dele com u e com v, dá o vetor nulo, ou seja, w wed>= u = w wed>= v = 0. A gente quer provar que, com essas condições, o vetor w também tem que ser o vetor nulo, 0. Para isso, vamos usar conceitos de linearidade e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa linearmente independentes. Dois vetores u e v são linearmente independentes se a única solução para a combinação au + bv = 0 é quando a = b = 0. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 3

Agora, sobre o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. Se w wed>= u = 0, isso significa que w e u são paralelos ou um dos vetores é nulo. O mesmo vale para w wed>= v = 0.

Passo 4

Como u e v são linearmente independentes, eles não são paralelos. Então, se w é paralelo tanto a u quanto a v, a única possibilidade é que w seja o vetor nulo. Porque, se w fosse diferente de zero, ela não poderia ser paralela a dois vetores que não são múltiplos um do outro.

Passo 5

Formalizando isso, suponha que w neq 0. Então, existiriam escalares a e b tais que w = au e w = bv. Isso implicaria que u e v são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente dependentes, o que contraria a hipótese inicial. Portanto, nossa suposição de que w neq 0 está errada.

Resposta

Logo, w = 0.

Exercícios relacionados