Sejam uma base, u=e1+e2, v=e1+e2+e3 e w=a e1+b e2+c e3. Deduza uma condição necessária e suficiente sobre a, b e c para que (u, v, w) seja base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma base e três vetores , e definidos em termos dessa base. Queremos descobrir qual condição os números , e precisam satisfazer para que esses três vetores formem uma nova base. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, como estamos trabalhando em um espaço tridimensional (já que a base tem três vetores), precisamos que os vetores , e também sejam três vetores que não podem ser escritos como combinação linear uns dos outros.
Passo 3
Para verificar se os vetores , e são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 4
Vamos escrever os vetores u = e1 + e2 Rightarrow (1, 1, 0) , v = e1 + e2 + e3 Rightarrow (1, 1, 1) e w = ae1 + be2 + ce3 Rightarrow (a, b, c) em termos das componentes em relação à base :
Passo 5
Agora, montamos a matriz com essas colunas:
M = 1 & 1 & a 1 & 1 & b 0 & 1 & c
Passo 6
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(M) = 1 cdot (1 cdot c - 1 cdot b) - 1 cdot (1 cdot c - 0 cdot b) + a cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0)
det(M) = 1(c - b) - 1(c) + a(1)
det(M) = c - b - c + a = a - b
Passo 7
Para que os vetores a - b neq 0 Rightarrow a neq b , e formem uma base, o determinante precisa ser diferente de zero. Ou seja:
Resposta
A condição necessária e suficiente é que seja diferente de . Ou seja, .