Determine um vetor unitário perpendicular aos vetores a=imath-2 jmath+3 widehatk e b=3 imath-jmath+2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um vetor unitário que seja perpendicular aos vetores e . Isso envolve o conteúdo de produto vetorial e normalização de vetores. Vamos precisar calcular o produto vetorial desses dois vetores pra achar um vetor perpendicular e depois transformar esse vetor em um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a times b = imath & jmath & widehatk 1 & -2 & 3 3 & -1 & 2 . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula é:
a times b = imath cdot [(-2)(2) - (3)(-1)] - jmath cdot [(1)(2) - (3)(3)] + widehatk cdot [(1)(-1) - (-2)(3)]
Calculando o determinante:
= imath cdot (-4 + 3) - jmath cdot (2 - 9) + widehatk cdot (-1 + 6)
= imath cdot (-1) - jmath cdot (-7) + widehatk cdot 5
= -imath + 7jmath + 5widehatk
Então, .

Passo 3

Agora, vamos normalizar esse vetor pra transformá-lo em um vetor unitário. A normalização envolve dividir o vetor pela sua norma (ou magnitude). A fórmula da norma é:
||v|| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para ||a times b|| = raiz(-1)^2 + 7^2 + 5^2 = raiz1 + 49 + 25 = raiz75 = 5raiz3 :

Passo 4

Por fim, para obter o vetor unitário perpendicular, vamos dividir cada componente do vetor u = a times b||a times b|| = -1imath + 7jmath + 5widehatk5raiz3 = ( -15raiz3 )imath + ( 75raiz3 )jmath + ( 55raiz3 )widehatk pela sua norma:
u = -15raiz3 imath + 75raiz3 jmath + 1raiz3 widehatk
Simplificando:

Resposta

Um vetor unitário perpendicular aos vetores u = -15raiz3 imath + 75raiz3 jmath + 1raiz3 widehatk e é:

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