Determine um vetor unitário que seja normal em
à curva de nível de
que passa por
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um vetor unitário que seja normal no ponto
à curva de nível da função
que passa por esse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente de uma função, que nos dá a direção de máxima variação e é perpendicular às curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais da função em relação a
e
.
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é normal à curva de nível no ponto
.
Passo 4
Como precisamos de um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1), vamos normalizar o vetor
. Para isso, calculamos a magnitude do vetor:
Passo 5
Finalmente, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento para obter o vetor unitário:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
Um vetor unitário normal à curva de nível de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto
.
Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto
.