Determine um vetor unitário que seja normal em P(1,-2) à curva de nível de f(x, y) = 4 x^2 y que passa por P.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um vetor unitário que seja normal no ponto à curva de nível da função que passa por esse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente de uma função, que nos dá a direção de máxima variação e é perpendicular às curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais da função em relação a e .
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor é normal à curva de nível no ponto .

Passo 4

Como precisamos de um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1), vamos normalizar o vetor . Para isso, calculamos a magnitude do vetor:

Passo 5

Finalmente, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento para obter o vetor unitário:
á
Podemos racionalizar o denominador se preferir:

Resposta

Um vetor unitário normal à curva de nível de no ponto é .

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