Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma equação para o plano tangente à superfície no ponto e também as equações paramétricas para a reta normal a essa superfície naquele ponto. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície dada: é uma esfera com raio 5 centrada na origem. O ponto está sobre essa esfera porque .
Passo 3
Para achar o plano tangente à esfera nesse ponto, precisamos encontrar a equação do plano que “encosta” na esfera em e é perpendicular ao vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 4
O vetor normal à superfície de uma esfera no ponto é dado pelas coordenadas desse ponto, ou seja, . No nosso caso, .
Passo 5
A equação do plano tangente pode ser escrita como:
Simplificando:
Ou, rearranjando:
Passo 6
Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto , usamos o vetor normal . As equações paramétricas são dadas por:
Onde e .
Passo 7
Substituindo os valores, temos:
Resposta
A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são: