Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma equação para o plano tangente à superfície no ponto e também as equações paramétricas para a reta normal a essa superfície naquele ponto. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície dada: é uma esfera com raio 5 centrada na origem. O ponto está sobre essa esfera porque .

Passo 3

Para achar o plano tangente à esfera nesse ponto, precisamos encontrar a equação do plano que “encosta” na esfera em e é perpendicular ao vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 4

O vetor normal à superfície de uma esfera no ponto é dado pelas coordenadas desse ponto, ou seja, . No nosso caso, .

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita como:
Simplificando:
Ou, rearranjando:

Passo 6

Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto , usamos o vetor normal . As equações paramétricas são dadas por:
Onde e .

Passo 7

Substituindo os valores, temos:

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:

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Determine um vetor unitário que seja normal em à curva de nível de que passa por .
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .
Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .