Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma equação para o plano tangente à superfície
no ponto
e também as equações paramétricas para a reta normal a essa superfície naquele ponto. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície dada:
é uma esfera com raio 5 centrada na origem. O ponto
está sobre essa esfera porque
.
Passo 3
Para achar o plano tangente à esfera nesse ponto, precisamos encontrar a equação do plano que “encosta” na esfera em
e é perpendicular ao vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 4
O vetor normal à superfície de uma esfera no ponto
é dado pelas coordenadas desse ponto, ou seja,
. No nosso caso,
.
Passo 5
A equação do plano tangente pode ser escrita como:
Simplificando:
Ou, rearranjando:
Passo 6
Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto
, usamos o vetor normal
. As equações paramétricas são dadas por:
Onde
e
.
Passo 7
Substituindo os valores, temos:
Resposta
A equação do plano tangente é
e as equações paramétricas da reta normal são: