Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo multivariável. A missão é encontrar a equação do plano tangente à superfície dada pela equação no ponto . Além disso, precisamos achar as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e propriedades dos planos tangentes e normais em superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto . Para isso, vamos calcular o gradiente da função que define a superfície. A função dada é:
O gradiente de , denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a , e . Vamos calcular cada uma delas:
Agora, substituímos as coordenadas do ponto nessas derivadas:
Então, o vetor gradiente no ponto é:
Esse vetor é normal à superfície no ponto .

Passo 3

Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente à superfície no ponto . A equação geral de um plano tangente é dada por:
Onde são as coordenadas do ponto de tangência, que no nosso caso é . Substituindo os valores, temos:
Simplificando a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
ou em forma padrão:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto . A reta normal tem a direção do vetor gradiente e passa pelo ponto .
As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é o vetor direção da reta e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
As equações paramétricas da reta normal à superfície nesse ponto são:

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