Determine se o vetor v = (-1, 1, -8) está no subespaço gerado pela base B = {(-4, 1, 1), (1, 0, -3)}. Em caso afirmativo, escreva o vetor v na base B.
a. v pode ser escrito na base B, e.
b. v pode ser escrito na base B, e.
c. v pode ser escrito na base B, e.
d. v pode ser escrito na base B, e.
e. v não pode ser escrito na base B e, portanto, não pertence ao gerado de B.
a. v pode ser escrito na base B, e.
b. v pode ser escrito na base B, e.
c. v pode ser escrito na base B, e.
d. v pode ser escrito na base B, e.
e. v não pode ser escrito na base B e, portanto, não pertence ao gerado de B.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um vetor $ \mathbf{v} = (-1, 1, -8) $ e uma base $ B = { (-4, 1, 1), (1, 0, -3) } $. O objetivo aqui é descobrir se o vetor $ \mathbf{v} $ está dentro do subespaço gerado por essa base $ B $. Basicamente, queremos saber se dá pra escrever $ \mathbf{v} $ como uma combinação linear dos vetores de $ B $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente de sistemas lineares e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ \mathbf{v} $ está no subespaço gerado por $ B $. Isso quer dizer que existe uma combinação dos vetores de $ B $ que resulta exatamente em $ \mathbf{v} $. Matemáticamente, isso significa que existem escalares $ a $ e $ b $ tais que:
Vamos montar essas equações para encontrar $ a $ e $ b $.
Passo 3
Vamos separar as componentes de cada vetor para formar um sistema de equações:
Aqui, temos três equações, mas apenas duas incógnitas ($ a $ e $ b $). Isso significa que o sistema pode ser ou consistente e dependente ou inconsistente.
Passo 4
Vamos resolver a segunda equação primeiro, já que ela é mais simples:
Agora que já sabemos que $ a = 1 $, podemos substituir esse valor nas outras duas equações para encontrar $ b $.
Passo 5
Substituindo $ a = 1 $ na primeira equação:
Então, encontramos $ b = 3 $.
Passo 6
Agora, vamos verificar se esses valores de $ a $ e $ b $ satisfazem a terceira equação:
A equação é verdadeira, então os valores encontrados são consistentes.
Passo 7
Como encontramos valores para $ a $ e $ b $ que satisfazem todas as equações, isso significa que o vetor $ \mathbf{v} $ está no subespaço gerado por $ B $.
Resposta
a. $ \mathbf{v} $ pode ser escrito na base $ B $ como $ \mathbf{v} = 1 \cdot (-4, 1, 1) + 3 \cdot (1, 0, -3) $.