Um disco de vinil possui a música A iniciando na trilha de raio 5 cm, e uma música B, na trilha de raio 12 cm.
Se a vitrola impõe uma rotação de 30 r.p.m. ao disco, então, as velocidades lineares nas trilhas em que se iniciam as músicas A e B são, respectivamente,
(Considere que a velocidade angular pode ser calculada por w=2πf)
0,05 π cm/s e 0,012 π cm/s.
0,05 π cm/s e 0,12 π cm/s.
0,5 π cm/s e 0,12 π cm/s.
5 π cm/s e 12 π cm/s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco de vinil com duas músicas começando em trilhas diferentes: a música A começa numa trilha com raio de 5 cm e a música B numa trilha com raio de 12 cm. A vitrola está girando a 30 rotações por minuto (r.p.m.). Nosso objetivo é descobrir quais são as velocidades lineares dessas trilhas onde as músicas começam.
Para isso, vamos usar conceitos de velocidade angular e velocidade linear. Precisamos entender como converter a rotação da vitrola em velocidade linear nas trilhas das músicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade angular. Ela nos diz o quanto o disco está girando, e é medida em radianos por segundo (rad/s). A fórmula para calcular a velocidade angular ($ \omega $) é:
omega
Aqui, $ f $ é a frequência de rotação em rotações por segundo (rps).

Passo 3

Vamos converter as 30 rotações por minuto (r.p.m) para rotações por segundo (rps). Sabemos que:
1 minuto = 60 segundos
Então,
f = 30 rpm60 = 0,5 rps

Passo 4

Agora, usando a fórmula da velocidade angular:
omega = 2pi f = 2pi times 0,5 = pi rad/s
Então, a velocidade angular do disco é $ \pi $ rad/s.

Passo 5

A próxima coisa que precisamos é a velocidade linear ($ v $) nas trilhas. A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
v
Onde $ r $ é o raio da trilha.

Passo 6

Vamos calcular a velocidade linear para a trilha da música A, que tem raio de 5 cm:
vA = pi times 5 = 5pi cm/s

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade linear para a trilha da música B, com raio de 12 cm:
vB = pi times 12 = 12pi cm/s

Resposta

As velocidades lineares nas trilhas onde se iniciam as músicas A e B são, respectivamente, $ 5\pi $ cm/s e $ 12\pi $ cm/s.

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