Sejam A=(2,1,0), B=(-1,2,1) e C vértices de um triângulo com área igual a a \sqrt{6}. Sabendo que o ponto C está no eixo y :
(b) Determine a altura relativa ao lado \overrightarrow{A B}.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos no espaço: , e , que está no eixo , ou seja, . Sabemos também que a área do triângulo formado por esses pontos é . O que precisamos determinar é a altura relativa ao lado . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores e cálculo de áreas de triângulos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo no espaço pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores formados pelos lados. A fórmula é:
Á
Aqui, é o vetor de para e é o vetor de para . Vamos calcular esses vetores.
Passo 3
Calculando :
E calculando :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula do produto vetorial para dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 5
Simplificando o produto vetorial:
Agora, a magnitude desse vetor é:
Passo 6
A área do triângulo é dada por:
Á
Multiplicando ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Expandindo os termos:
Somando tudo:
Passo 8
Agora, precisamos determinar o valor de . Para isso, vamos resolver a equação quadrática:
Subtraindo de ambos os lados:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 9
Resolvendo essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Para que haja solução real, :
Passo 10
Assumindo que satisfaz essa condição, podemos encontrar :
Agora, com o valor de , podemos determinar a altura relativa ao lado .
Passo 11
A altura relativa ao lado pode ser encontrada usando a relação entre área, base e altura: