Sejam A=(2,1,0), B=(-1,2,1) e C vértices de um triângulo com área igual a a \sqrt{6}. Sabendo que o ponto C está no eixo y :
(b) Determine a altura relativa ao lado \overrightarrow{A B}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos no espaço: , e , que está no eixo , ou seja, . Sabemos também que a área do triângulo formado por esses pontos é . O que precisamos determinar é a altura relativa ao lado . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores e cálculo de áreas de triângulos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo no espaço pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores formados pelos lados. A fórmula é:
Área = 12 | AB times AC | Á
Aqui, é o vetor de para e é o vetor de para . Vamos calcular esses vetores.

Passo 3

Calculando AB = B - A = (-1 - 2, 2 - 1, 1 - 0) = (-3, 1, 1) :
AC = C - A = (0 - 2, y - 1, 0 - 0) = (-2, y - 1, 0)
E calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v = (u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1) . A fórmula do produto vetorial para dois vetores AB times AC = i & j & k -3 & 1 & 1 -2 & y - 1 & 0 e i &: 1 cdot 0 - 1 cdot (y - 1) = - (y - 1) j &: -( -3 cdot 0 - 1 cdot (-2)) = - (0 + 2) = -2 k &: -3 cdot (y - 1) - 1 cdot (-2) = -3(y - 1) + 2 é:
AB times AC = ( - (y - 1), -2, -3(y - 1) + 2 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
Então:

Passo 5

Simplificando o produto vetorial:
AB times AC = ( -y + 1, -2, -3y + 3 + 2 ) = ( -y + 1, -2, -3y + 5 )
Agora, a magnitude desse vetor é:
| AB times AC | = raiz (-y + 1)^2 + (-2)^2 + (-3y + 5)^2

Passo 6

A área do triângulo é dada por:
Área = 12 raiz (-y + 1)^2 + (-2)^2 + (-3y + 5)^2 = araiz6 Á
Multiplicando ambos os lados por 2:
raiz (-y + 1)^2 + 4 + (-3y + 5)^2 = 2araiz6
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
(-y + 1)^2 + 4 + (-3y + 5)^2 = (2araiz6)^2 = 24a^2

Passo 7

Expandindo os termos:
(y - 1)^2 + 4 + (3y - 5)^2 = 24a^2
(y^2 - 2y + 1) + 4 + (9y^2 - 30y + 25) = 24a^2
Somando tudo:
y^2 - 2y + 1 + 4 + 9y^2 - 30y + 25 = 24a^2
10y^2 - 32y + 30 = 24a^2

Passo 8

Agora, precisamos determinar o valor de 10y^2 - 32y + 30 = 24a^2 . Para isso, vamos resolver a equação quadrática:
10y^2 - 32y + (30 - 24a^2) = 0
Subtraindo 5y^2 - 16y + (15 - 12a^2) = 0 de ambos os lados:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 9

Resolvendo essa equação quadrática para y = 16 pm raiz(-16)^2 - 4 cdot 5 cdot (15 - 12a^2)2 cdot 5 usando a fórmula de Bhaskara:
De
Calculando o discriminante:
-44 + 240a^2 >= 0 Rightarrow 240a^2 >= 44 Rightarrow a^2 >= 1160 Rightarrow a >= raiz1160
Para que haja solução real, :

Passo 10

Assumindo que y = 16 pm raiz-44 + 240a^210 satisfaz essa condição, podemos encontrar :
Agora, com o valor de , podemos determinar a altura relativa ao lado .

Passo 11

A altura Área = 12 times base times a relativa ao lado | AB | = raiz(-3)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz9 + 1 + 1 = raiz11 pode ser encontrada usando a relação entre área, base e altura:
araiz6 = 12 times raiz11 times h Á
Aqui, a base é . Calculando a magnitude de :
Então:

Passo 12

Resolvendo para h = 2araiz6raiz11 = 2araiz6raiz11 times raiz11raiz11 = 2araiz6611 :

Resposta

A altura relativa ao lado é .

Exercícios relacionados