Sejam A=(2,1,0), B=(-1,2,1) e C vértices de um triângulo com área igual a a \sqrt{6}. Sabendo que o ponto C está no eixo y :
(b) Determine a altura relativa ao lado \overrightarrow{A B}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos no espaço: , e , que está no eixo , ou seja, . Sabemos também que a área do triângulo formado por esses pontos é . O que precisamos determinar é a altura relativa ao lado . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores e cálculo de áreas de triângulos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo no espaço pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores formados pelos lados. A fórmula é:
Á
Aqui, é o vetor de para e é o vetor de para . Vamos calcular esses vetores.

Passo 3

Calculando :
E calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula do produto vetorial para dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
Então:

Passo 5

Simplificando o produto vetorial:
Agora, a magnitude desse vetor é:

Passo 6

A área do triângulo é dada por:
Á
Multiplicando ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 7

Expandindo os termos:
Somando tudo:

Passo 8

Agora, precisamos determinar o valor de . Para isso, vamos resolver a equação quadrática:
Subtraindo de ambos os lados:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 9

Resolvendo essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Para que haja solução real, :

Passo 10

Assumindo que satisfaz essa condição, podemos encontrar :
Agora, com o valor de , podemos determinar a altura relativa ao lado .

Passo 11

A altura relativa ao lado pode ser encontrada usando a relação entre área, base e altura:
Á
Aqui, a base é . Calculando a magnitude de :
Então:

Passo 12

Resolvendo para :

Resposta

A altura relativa ao lado é .

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Sejam A=(0,1,2), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(b) Determine |\overrightarrow{A B}|.
Determine o vetor \vec{v} tal que:
(a) \vec{v} \times(\vec{i}+\vec{k})=2(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}) e |\vec{v}|=\sqrt{6};
Sejam A=(1,2,1), B=(2,3,4) e C=(3,0,2).
Calcule:
(a) \vec{AB}+\vec{AC}.
Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,0,-1).
(b) Determine a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}.