Determine o vetor
, escrevendo-o em função de
e
nos seguintes casos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o vetor
escrevendo-o em função dos vetores
e
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares de vetores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor como uma combinação de outros vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que podemos escrever
como uma combinação linear de
e
. Isso significa que existe um escalar
e um escalar
tais que:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de
e
. Para isso, precisamos de informações adicionais, como componentes dos vetores ou equações que relacionem
,
e
. Supondo que tenhamos tais informações, podemos montar um sistema de equações.
Passo 4
Vamos supor que
e
sejam vetores no plano, por exemplo:
Substituindo na equação da combinação linear:
Isso nos dá um sistema de duas equações:
Passo 5
Para resolver esse sistema, podemos usar métodos como substituição, eliminação ou a regra de Cramer. Vamos usar a eliminação aqui. Multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
para eliminar
:
Subtraindo as duas equações:
Assim, o valor de
é:
Depois de encontrar
, substituímos em uma das equações originais para encontrar
:
Resposta
O vetor
pode ser expresso em função de
e
como:
onde
Exercícios relacionados
Considere os vetores
e
. Calcule:
a) determinar a matriz canônica de
;
Verifique que os vetores
e
geram o espaço vetorial
, isto é, verifique que o espaço gerado
por
e
é igual a
.
Verifique que os vetores
e
geram o espaço vetorial
, isto é, verifique que o espaço gerado
por
e
é igual a
.