Determine o vetor x, escrevendo-o em função de u e v nos seguintes casos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o vetor x escrevendo-o em função dos vetores u e v. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares de vetores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor como uma combinação de outros vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que podemos escrever x como uma combinação linear de u e v. Isso significa que existe um escalar a e um escalar b tais que:
x = a,u + b,v

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de a e b. Para isso, precisamos de informações adicionais, como componentes dos vetores ou equações que relacionem x, u e v. Supondo que tenhamos tais informações, podemos montar um sistema de equações.

Passo 4

Vamos supor que u e v sejam vetores no plano, por exemplo:
u = u1 u2 , v = v1 v2 , x = x1 x2
Substituindo na equação da combinação linear:
x1 x2 = a u1 u2 + b v1 v2 = a,u1 + b,v1 a,u2 + b,v2
Isso nos dá um sistema de duas equações:
a,u1 + b,v1 = x1 a,u2 + b,v2 = x2

Passo 5

Para resolver esse sistema, podemos usar métodos como substituição, eliminação ou a regra de Cramer. Vamos usar a eliminação aqui. Multiplicamos a primeira equação por v2 e a segunda por v1 para eliminar b:
a,u1,v2 + b,v1,v2 = x1,v2 a,u2,v1 + b,v2,v1 = x2,v1
Subtraindo as duas equações:
a,(u1,v2 - u2,v1) = x1,v2 - x2,v1
Assim, o valor de a é:
a = x1,v2 - x2,v1u1,v2 - u2,v1
Depois de encontrar a, substituímos em uma das equações originais para encontrar b:
b = x2 - a,u2v2

Resposta

O vetor x pode ser expresso em função de u e v como:
x = a,u + b,v,
onde
a = x1,v2 - x2,v1u1,v2 - u2,v1 e b = x2 - a,u2v2

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