Determine o vetor , escrevendo-o em função de e nos seguintes casos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o vetor escrevendo-o em função dos vetores e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares de vetores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor como uma combinação de outros vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que podemos escrever como uma combinação linear de e . Isso significa que existe um escalar e um escalar tais que:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para isso, precisamos de informações adicionais, como componentes dos vetores ou equações que relacionem , e . Supondo que tenhamos tais informações, podemos montar um sistema de equações.

Passo 4

Vamos supor que e sejam vetores no plano, por exemplo:
Substituindo na equação da combinação linear:
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 5

Para resolver esse sistema, podemos usar métodos como substituição, eliminação ou a regra de Cramer. Vamos usar a eliminação aqui. Multiplicamos a primeira equação por e a segunda por para eliminar :
Subtraindo as duas equações:
Assim, o valor de é:
Depois de encontrar , substituímos em uma das equações originais para encontrar :

Resposta

O vetor pode ser expresso em função de e como:
onde

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Considere os vetores e . Calcule:
a) determinar a matriz canônica de ;
Verifique que os vetores e geram o espaço vetorial , isto é, verifique que o espaço gerado por e é igual a .
Verifique que os vetores e geram o espaço vetorial , isto é, verifique que o espaço gerado por e é igual a .