Verifique que os vetores
e
geram o espaço vetorial
, isto é, verifique que o espaço gerado
por
e
é igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os vetores
e
conseguem “gerar” todo o espaço vetorial
. Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e base de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender se esses vetores são linearmente independentes e se conseguem span (ou seja, cobrir) todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa os vetores gerarem
. Se os vetores
e
forem linearmente independentes e formarem um sistema que pode alcançar qualquer ponto em
, então eles realmente geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 3
Vamos verificar a linearidade. Para isso, vamos montar uma combinação linear desses vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
Nosso objetivo é ver se conseguimos resolver esse sistema para quaisquer
e
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Pela segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo
na expressão para
:
Então, para quaisquer
e
, temos:
Passo 5
Como conseguimos encontrar valores de
e
que resolvem o sistema para quaisquer
e
, isso significa que os vetores
e
são linearmente independentes e geram todo o espaço
.
Resposta
Os vetores
e
geram o espaço vetorial
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Determine o vetor
, escrevendo-o em função de
e
nos seguintes casos.
Considere os vetores
e
. Calcule:
Verifique que os vetores
e
geram o espaço vetorial
, isto é, verifique que o espaço gerado
por
e
é igual a
.
Verifique que os polinômios
e
geram o espaço
dos polinômios de grau menor ou igual a dois.