Verifique que os vetores u=(2,1) e v=(1,1) geram o espaço vetorial R^2, isto é, verifique que o espaço gerado [u, v] por u e v é igual a R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os vetores e conseguem “gerar” todo o espaço vetorial . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e base de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender se esses vetores são linearmente independentes e se conseguem span (ou seja, cobrir) todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa os vetores gerarem . Se os vetores e forem linearmente independentes e formarem um sistema que pode alcançar qualquer ponto em , então eles realmente geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 3

Vamos verificar a linearidade. Para isso, vamos montar uma combinação linear desses vetores:
a cdot u + b cdot v = w
a cdot (2, 1) + b cdot (1, 1) = (x, y)
Isso resulta no sistema de equações:
2a + b = x
a + b = y
Nosso objetivo é ver se conseguimos resolver esse sistema para quaisquer e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Pela segunda equação:
a + b = y Rightarrow a = y - b
Substituindo na primeira equação:
2(y - b) + b = x
2y - 2b + b = x
2y - b = x Rightarrow b = 2y - x
Agora, substituindo a = y - (2y - x) = y - 2y + x = x - y na expressão para a = x - y :
b = 2y - x
Então, para quaisquer e , temos:

Passo 5

Como conseguimos encontrar valores de e que resolvem o sistema para quaisquer e , isso significa que os vetores e são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Resposta

Os vetores e geram o espaço vetorial , ou seja, .

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