Verifique que os vetores e geram o espaço vetorial , isto é, verifique que o espaço gerado por e é igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os vetores e conseguem “gerar” todo o espaço vetorial . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e base de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender se esses vetores são linearmente independentes e se conseguem span (ou seja, cobrir) todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa os vetores gerarem . Se os vetores e forem linearmente independentes e formarem um sistema que pode alcançar qualquer ponto em , então eles realmente geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 3

Vamos verificar a linearidade. Para isso, vamos montar uma combinação linear desses vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
Nosso objetivo é ver se conseguimos resolver esse sistema para quaisquer e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Pela segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão para :
Então, para quaisquer e , temos:

Passo 5

Como conseguimos encontrar valores de e que resolvem o sistema para quaisquer e , isso significa que os vetores e são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Resposta

Os vetores e geram o espaço vetorial , ou seja, .

Exercícios relacionados

Determine o vetor , escrevendo-o em função de e nos seguintes casos.
Considere os vetores e . Calcule:
Verifique que os vetores e geram o espaço vetorial , isto é, verifique que o espaço gerado por e é igual a .
Verifique que os polinômios e geram o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a dois.