Verifique que os vetores e geram o espaço vetorial , isto é, verifique que o espaço gerado por e é igual a .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional : , e . A questão quer que a gente verifique se esses vetores geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser formado a partir de combinações lineares desses três vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor é uma combinação linear dos vetores , e se existe uma relação do tipo:
onde , e são escalares (números reais).

Passo 3

Para verificar se , e geram , precisamos ver se conseguimos obter qualquer vetor em usando essa combinação linear. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 4

Vamos montar uma matriz com os vetores , e como colunas:
Para que esses vetores gerem , essa matriz precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero.

Passo 5

Calculando o determinante da matriz:
Como o determinante é , que é diferente de zero, a matriz é não singular.

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, isso confirma que os vetores , e são linearmente independentes. E, em um espaço de dimensão 3 como o , três vetores linearmente independentes geram todo o espaço.

Resposta

Os vetores , e geram todo o espaço vetorial .

Exercícios relacionados

Verifique que os vetores e geram o espaço vetorial , isto é, verifique que o espaço gerado por e é igual a .
Determine o vetor , escrevendo-o em função de e nos seguintes casos.
Verifique que os polinômios e geram o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a dois.
Sejam bases ordenadas de . Determine:
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