Verifique que os vetores e geram o espaço vetorial , isto é, verifique que o espaço gerado por e é igual a .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional : , e . A questão quer que a gente verifique se esses vetores geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser formado a partir de combinações lineares desses três vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor é uma combinação linear dos vetores , e se existe uma relação do tipo:
onde , e são escalares (números reais).
Passo 3
Para verificar se , e geram , precisamos ver se conseguimos obter qualquer vetor em usando essa combinação linear. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos montar uma matriz com os vetores , e como colunas:
Para que esses vetores gerem , essa matriz precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero.
Passo 5
Calculando o determinante da matriz:
Como o determinante é , que é diferente de zero, a matriz é não singular.
Passo 6
Como o determinante é diferente de zero, isso confirma que os vetores , e são linearmente independentes. E, em um espaço de dimensão 3 como o , três vetores linearmente independentes geram todo o espaço.