Verifique que os vetores u=(1,1,1), v=(0,1,1) e w=(0,0,1) geram o espaço vetorial R^3, isto é, verifique que o espaço gerado [u, v, w] por u, v e w é igual a R^3.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3: u = (1,1,1), v = (0,1,1) e w = (0,0,1). A questão quer que a gente verifique se esses vetores geram todo o espaço R^3. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser formado a partir de combinações lineares desses três vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor x é uma combinação linear dos vetores u, v e w se existe uma relação do tipo:
x = c1u + c2v + c3w
onde c1, c2 e c3 são escalares (números reais).

Passo 3

Para verificar se u, v e w geram R^3, precisamos ver se conseguimos obter qualquer vetor (a, b, c) em R^3 usando essa combinação linear. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 0 = a c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 0 = b c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 = c

Passo 4

Vamos montar uma matriz com os vetores u, v e w como colunas:
1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Para que esses vetores gerem R^3, essa matriz precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero.

Passo 5

Calculando o determinante da matriz:
det = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 cdot 1 = 1
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é não singular.

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, isso confirma que os vetores u, v e w são linearmente independentes. E, em um espaço de dimensão 3 como o R^3, três vetores linearmente independentes geram todo o espaço.

Resposta

Os vetores u = (1,1,1), v = (0,1,1) e w = (0,0,1) geram todo o espaço vetorial R^3.

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