Determine o vetore tangentes unitário vec(T)(t) para os seguintes casos:
(b) r(t) = (t, 1/2 t^2, t^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário vec(T)(t) para a função vetorial dada: . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial vec(r)(t). A derivada de vec(r)(t) em relação a t, que chamamos de , nos dá o vetor velocidade, ou seja, a direção em que a curva está se movendo naquele instante.
Então, derivando cada componente de vec(r)(t):

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor derivado, . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso em :

Passo 4

Com a derivada e sua magnitude em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário vec(T)(t). Esse vetor é simplesmente o vetor derivado normalizado, ou seja, dividido pela sua magnitude:
Isso nos dá o vetor tangente unitário na direção da curva para qualquer valor de t.

Resposta

O vetor tangente unitário é dado por:

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