Determine o vetore tangentes unitário
para os seguintes casos:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário
para a função vetorial dada:
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
. A derivada de
em relação a
, que chamamos de
, nos dá o vetor velocidade, ou seja, a direção em que a curva está se movendo naquele instante.
Então, derivando cada componente de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor derivado,
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso em
:
Passo 4
Com a derivada e sua magnitude em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário
. Esse vetor é simplesmente o vetor derivado normalizado, ou seja, dividido pela sua magnitude:
Isso nos dá o vetor tangente unitário na direção da curva para qualquer valor de
.
Resposta
O vetor tangente unitário é dado por: