Determine o vetore tangentes unitário para os seguintes casos:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário para a função vetorial dada: . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial . A derivada de em relação a , que chamamos de , nos dá o vetor velocidade, ou seja, a direção em que a curva está se movendo naquele instante.
Então, derivando cada componente de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor derivado, . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso em :

Passo 4

Com a derivada e sua magnitude em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário . Esse vetor é simplesmente o vetor derivado normalizado, ou seja, dividido pela sua magnitude:
Isso nos dá o vetor tangente unitário na direção da curva para qualquer valor de .

Resposta

O vetor tangente unitário é dado por:

Exercícios relacionados

Uma partícula se move no espaço com vetor posição . Determine a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçe a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de .
(b) ,
Indique os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
(f) ,
Seja e . Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites:
(a)
Determine os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante . Determine, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
© , onde e são funções hipérbolicas, definidas por: