Uma partícula se move no espaço com vetor posição
. Determine a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçe a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de
.
(b)
,
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move no espaço com um vetor posição dado por
. Precisamos determinar a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer instante
, e depois especificamente no instante
. Também vamos esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Vamos começar encontrando a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição
em relação ao tempo
.
Dada:
Derivando cada componente em relação a
:
Calculando as derivadas:
Portanto, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Temos:
Derivando cada componente:
Calculando as derivadas:
Portanto, a aceleração é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade e a aceleração especificamente no instante
.
Substituindo
nas expressões de
e
:
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Passo 5
Por fim, vamos esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração no instante
.
-
Trajetória: A trajetória é dada pela função
. Podemos imaginar que a partícula está se movendo em um plano formado pelas direções e . -
Vetor Velocidade em
: . Isso indica que a partícula está se movendo para a esquerda com uma velocidade de unidades na direção e para cima com uma velocidade de 1 unidade na direção . -
Vetor Aceleração em
: . Isso significa que a aceleração está apenas na direção , indicando que a velocidade na direção está aumentando.
Resposta
No instante
, a velocidade da partícula é
e a aceleração é
. A trajetória da partícula é uma curva definida por
, e no instante considerado, os vetores velocidade e aceleração estão conforme calculado acima.
Exercícios relacionados
Indique os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
(f) ,
(f)
Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
Determine o vetore tangentes unitário
para os seguintes casos:
(b) .
(b)
Seja
e
. Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites:
(a)
(a)