Uma partícula se move no espaço com vetor posição . Determine a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçe a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de .
(b) ,

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move no espaço com um vetor posição dado por . Precisamos determinar a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer instante , e depois especificamente no instante . Também vamos esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para .
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo .
Dada:
Derivando cada componente em relação a :
Calculando as derivadas:
Portanto, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Temos:
Derivando cada componente:
Calculando as derivadas:
Portanto, a aceleração é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade e a aceleração especificamente no instante .
Substituindo nas expressões de e :
Para a velocidade:
Para a aceleração:

Passo 5

Por fim, vamos esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração no instante .
  • Trajetória: A trajetória é dada pela função . Podemos imaginar que a partícula está se movendo em um plano formado pelas direções e .
  • Vetor Velocidade em : . Isso indica que a partícula está se movendo para a esquerda com uma velocidade de unidades na direção e para cima com uma velocidade de 1 unidade na direção .
  • Vetor Aceleração em : . Isso significa que a aceleração está apenas na direção , indicando que a velocidade na direção está aumentando.

Resposta

No instante , a velocidade da partícula é e a aceleração é . A trajetória da partícula é uma curva definida por , e no instante considerado, os vetores velocidade e aceleração estão conforme calculado acima.

Exercícios relacionados

Indique os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
(f) ,
Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
Determine o vetore tangentes unitário para os seguintes casos:
(b) .
Seja e . Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites:
(a)