O dono de uma loja de balas tem muitas balas em estoque, sendo 110 Kg de balas de caramelo e 190 Kg de balas de chocolate. O dono da loja decide vender o estoque na forma de dois pacotes sortidos diferentes. O 1^circ pacote contém uma mistura com 40 % de balas de caramelo e 60 % de balas de chocolate e venderá este pacote a R o quilo. O o quilo O pacote contém uma mistura com pacote contém uma mistura com de balas de caramelo e de balas de caramelo e de balas de chocolate e venderá este pacote a de balas de chocolate e venderá este pacote a o quilo. O vendedor deveria preparar quantos quilogramas de cada mistura com o objetivo de maximizar sua receita?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um dono de loja de balas que quer vender duas misturas diferentes para maximizar a sua grana. A matéria que vamos usar aqui é Programação Linear, que é uma técnica matemática para otimizar (no caso, maximizar) valores sob certas restrições. Vamos precisar definir variáveis, montar funções e resolver um sistema de equações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que representam o que queremos descobrir:
  • Seja a quantidade em quilos do 1º pacote (40% caramelo e 60% chocolate).
  • Seja a quantidade em quilos do 2º pacote (25% caramelo e 75% chocolate).

Passo 3

Agora, vamos montar a função objetivo, que é a receita total que queremos maximizar. Sabemos que:
  • O 1º pacote é vendido a R$25,00 por quilo.
  • O 2º pacote é vendido a R$17,00 por quilo.
Então, a receita total 25,00 por quilo - O 2º pacote é vendido a R será:
R = 25x + 17y
Queremos maximizar .

Passo 4

Em seguida, vamos considerar as restrições de estoque de balas:
  • Total de balas de caramelo disponíveis: 110 kg.
  • Total de balas de chocolate disponíveis: 190 kg.
Vamos calcular a quantidade de caramelo e chocolate usados em cada pacote:
  • No 1º pacote:
    • Caramelo:
    • Chocolate:
  • No 2º pacote:
    • Caramelo:
    • Chocolate:

Passo 5

Agora, montamos as desigualdades que representam as restrições de estoque:
Para o caramelo:
0,40x + 0,25y <= 110
Para o chocolate:
0,60x + 0,75y <= 190
Além disso, e , pois não faz sentido produzir quantidades negativas.

Passo 6

Vamos simplificar as restrições para facilitar os cálculos. Multiplicando todas as equações para eliminar os decimais:
Para o caramelo:
40x + 25y <= 11000
Para o chocolate:
60x + 75y <= 19000

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema de inequações para encontrar os valores de 40x + 25y = 11000 60x + 75y = 19000 e 120x + 75y = 33000 que maximizam a receita 120x + 75y - (60x + 75y) = 33000 - 19000 60x = 14000 x = 1400060 approx 233,33 . Isso geralmente é feito encontrando os pontos extremos da área viável definida pelas restrições e calculando 40(233,33) + 25y = 11000 9333,2 + 25y = 11000 25y = 1666,8 y = 1666,825 approx 66,67 nesses pontos.
Primeiro, vamos achar as interseções:
  1. Quando :
    • Da restrição de caramelo:
    • Da restrição de chocolate:
    • Então,
  2. Quando :
    • Da restrição de caramelo:
    • Da restrição de chocolate:
    • Então,
  3. Para encontrar o ponto de interseção das duas restrições:
    • Resolvendo o sistema:
    • Multiplicando a primeira equação por 3:
    • Subtraindo a segunda equação:
    • Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora, vamos calcular a receita R = 25(0) + 17(253,33) = 0 + 4306,61 = R$ 4.306,61 nos pontos extremos:
  1. Ponto (0, 253,33):
    R = 25(275) + 17(0) = 6875 + 0 = R$ 6.875,00
  2. Ponto (275, 0):
    R = 25(233,33) + 17(66,67) = 5833,25 + 1133,39 = R$ 6.966,64
  3. Ponto (233,33, 66,67):

Resposta

Para maximizar a receita, o vendedor deve preparar aproximadamente 233,33 kg do 1º pacote e 66,67 kg do 2º pacote, resultando em uma receita máxima de R$ 6.966,64.

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