O dono de uma loja de balas tem muitas balas em estoque, sendo
de balas de caramelo e
de balas de chocolate. O dono da loja decide vender o estoque na forma de dois pacotes sortidos diferentes. O
pacote contém uma mistura com
de balas de caramelo e
de balas de chocolate e venderá este pacote a
o quilo. O
pacote contém uma mistura com
de balas de caramelo e
de balas de chocolate e venderá este pacote a
o quilo. O vendedor deveria preparar quantos quilogramas de cada mistura com o objetivo de maximizar sua receita?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um dono de loja de balas que quer vender duas misturas diferentes para maximizar a sua grana. A matéria que vamos usar aqui é Programação Linear, que é uma técnica matemática para otimizar (no caso, maximizar) valores sob certas restrições. Vamos precisar definir variáveis, montar funções e resolver um sistema de equações. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que representam o que queremos descobrir:
- Seja
a quantidade em quilos do 1º pacote (40% caramelo e 60% chocolate). - Seja
a quantidade em quilos do 2º pacote (25% caramelo e 75% chocolate).
Passo 3
Agora, vamos montar a função objetivo, que é a receita total que queremos maximizar. Sabemos que:
- O 1º pacote é vendido a R$25,00 por quilo.
- O 2º pacote é vendido a R$17,00 por quilo.
Então, a receita total
será:
Queremos maximizar
.
Passo 4
Em seguida, vamos considerar as restrições de estoque de balas:
- Total de balas de caramelo disponíveis: 110 kg.
- Total de balas de chocolate disponíveis: 190 kg.
Vamos calcular a quantidade de caramelo e chocolate usados em cada pacote:
- No 1º pacote:
- Caramelo:
- Chocolate:
- Caramelo:
- No 2º pacote:
- Caramelo:
- Chocolate:
- Caramelo:
Passo 5
Agora, montamos as desigualdades que representam as restrições de estoque:
Para o caramelo:
Para o chocolate:
Além disso,
e
, pois não faz sentido produzir quantidades negativas.
Passo 6
Vamos simplificar as restrições para facilitar os cálculos. Multiplicando todas as equações para eliminar os decimais:
Para o caramelo:
Para o chocolate:
Passo 7
Agora, vamos resolver esse sistema de inequações para encontrar os valores de
e
que maximizam a receita
. Isso geralmente é feito encontrando os pontos extremos da área viável definida pelas restrições e calculando
nesses pontos.
Primeiro, vamos achar as interseções:
-
Quando
: - Da restrição de caramelo:
- Da restrição de chocolate:
- Então,
- Da restrição de caramelo:
-
Quando
: - Da restrição de caramelo:
- Da restrição de chocolate:
- Então,
- Da restrição de caramelo:
-
Para encontrar o ponto de interseção das duas restrições:
- Resolvendo o sistema:
- Multiplicando a primeira equação por 3:
- Subtraindo a segunda equação:
- Substituindo
na primeira equação:
- Resolvendo o sistema:
Passo 8
Agora, vamos calcular a receita
nos pontos extremos:
-
Ponto (0, 253,33):
-
Ponto (275, 0):
-
Ponto (233,33, 66,67):
Resposta
Para maximizar a receita, o vendedor deve preparar aproximadamente 233,33 kg do 1º pacote e 66,67 kg do 2º pacote, resultando em uma receita máxima de R$ 6.966,64.
Exercícios relacionados
Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos
,
e
.
(a) Seja
uma reta tangente à elipse de equação
no ponto
. Mostre que a equação da reta
é dada por
Determine se os vetores nos itens a seguir formam uma base de
:
(b) ;
(b)
Usando determinante, encontre a equação da reta que passa pelos pontos
e
.