Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se uma determinada aplicação é uma transformação linear. O enunciado é o seguinte: temos uma função definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear e verificar se ela satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores no espaço de entrada e qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
Adição de vetores:
Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas propriedades para a nossa função .
Passo 3
Vamos começar testando a aditividade. Se escolhermos dois vetores quaisquer e , a soma desses vetores é .
Aplicando a transformação nessa soma:
Agora, vamos aplicar separadamente em cada vetor e depois somar os resultados:
Comparando os dois resultados:
Porque não é igual a na maioria dos casos.
Passo 4
Já que a propriedade de aditividade não é satisfeita, não precisamos verificar a segunda condição (multiplicação por escalar). Se uma das propriedades não é atendida, a transformação não é linear.