Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares. T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(x^2+y^2, x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se uma determinada aplicação é uma transformação linear. O enunciado é o seguinte: temos uma função definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear e verificar se ela satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores no espaço de entrada e qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas propriedades para a nossa função .

Passo 3

Vamos começar testando a aditividade. Se escolhermos dois vetores quaisquer T((x1 + x2, y1 + y2)) = ((x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2, x1 + x2) e T(x1, y1) = (x1^2 + y1^2, x1) , a soma desses vetores é T(x2, y2) = (x2^2 + y2^2, x2) .
Aplicando a transformação T(x1, y1) + T(x2, y2) = (x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2, x1 + x2) nessa soma:
T((x1 + x2, y1 + y2)) neq T(x1, y1) + T(x2, y2)
Agora, vamos aplicar separadamente em cada vetor e depois somar os resultados:
Comparando os dois resultados:
Porque não é igual a na maioria dos casos.

Passo 4

Já que a propriedade de aditividade não é satisfeita, não precisamos verificar a segunda condição (multiplicação por escalar). Se uma das propriedades não é atendida, a transformação não é linear.

Resposta

A aplicação não é uma transformação linear.

Exercícios relacionados