Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se uma determinada aplicação é uma transformação linear. O enunciado é o seguinte: temos uma função definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear e verificar se ela satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores no espaço de entrada e qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas propriedades para a nossa função .

Passo 3

Vamos começar testando a aditividade. Se escolhermos dois vetores quaisquer e , a soma desses vetores é .
Aplicando a transformação nessa soma:
Agora, vamos aplicar separadamente em cada vetor e depois somar os resultados:
Comparando os dois resultados:
Porque não é igual a na maioria dos casos.

Passo 4

Já que a propriedade de aditividade não é satisfeita, não precisamos verificar a segunda condição (multiplicação por escalar). Se uma das propriedades não é atendida, a transformação não é linear.

Resposta

A aplicação não é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Determine o valor de , de modo que i seja imaginário puro:
a) .
Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de GaussJordan:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Encontre a solução geral do sistema linear (1.0 pontos)
e determine um conjunto de vetores LI que geram o espaço das soluções desse sistema (1.0 pontos) :
Determine se os vetores do seguinte conjunto são LI ou LD
Em seguida, determine a forma parametrica dos vetores do espaço gerado.