Encontre a solução geral do sistema linear (1.0 pontos)
e determine um conjunto de vetores LI que geram o espaço das soluções desse sistema (1.0 pontos) :
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares com três incógnitas (, , ) e precisamos encontrar todas as soluções que satisfazem esse sistema. Além disso, precisamos determinar um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o espaço das soluções desse sistema.
O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, mais especificamente resolução de sistemas lineares e conceitos de espaços vetoriais e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos como substituição ou eliminação para achar as soluções do sistema e, em seguida, identificar os vetores que formam uma base para o espaço solução.
Passo 2
Vamos escrever o sistema de equações de forma clara. Parece que na segunda equação está faltando o lado direito, então vamos assumir que está igual a zero. Assim, o sistema fica:
Primeiro, vamos resolver o sistema usando o método de eliminação. Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (x1 + x2 + x3) - (x1 - x2 - x3) = 1 - 0 2x2 + 2x3 = 1 x2 + x3 = 12 :
Passo 4
Agora, vamos expressar x2 = 12 - x3 em termos de :
Passo 5
Vamos substituir x1 - (12 - x3) - x3 = 0 x1 - 12 + x3 - x3 = 0 x1 - 12 = 0 x1 = 12 dessa expressão na segunda equação do sistema original para encontrar :
Passo 6
Agora que temos - (12) + 5(12 - x3) + 5x3 = -4 - 12 + 52 - 5x3 + 5x3 = -4 e - 12 + 52 = -4 2 = -4 em termos de , vamos substituir esses valores na terceira equação para verificar a consistência:
Observe que os termos com se cancelam:
Aqui percebemos que algo está errado, pois chegamos a uma contradição.
Passo 7
Na verdade, houve um erro na substituição. Vamos refazer a substituição corretamente na terceira equação: