Determine os vetores tangentes e normal unitário
e
e a curvatura
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário
e normal unitário
, além da curvatura da curva dada por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor derivada de
, que é
. Isso nos dá a direção da tangente à curva em cada ponto.
Aqui, usamos a derivada de
que é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor derivada, que é necessária para normalizar o vetor tangente.
Lembrando que
, então:
Passo 4
Com a magnitude em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário
dividindo o vetor derivada pela sua magnitude.
Aqui, usamos que
e
.
Passo 5
Para encontrar o vetor normal unitário
, precisamos derivar
e então normalizar esse vetor derivada.
Primeiro, derivamos
:
Agora, calculamos a magnitude de
:
Como a magnitude já é 1, o vetor normal unitário é igual ao vetor derivada:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a curvatura
. A fórmula geral para a curvatura é:
Já sabemos que
e
, então:
Resposta
Os vetores tangente unitário e normal unitário são, respectivamente:
E a curvatura é: