Determine os vetores tangentes e normal unitário vec(T)(t) e vec(N)(t) e a curvatura
r(t) = (t, ln(cos(t)))

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário vec(T)(t) e normal unitário vec(N)(t), além da curvatura da curva dada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor derivada de vec(r)(t), que é . Isso nos dá a direção da tangente à curva em cada ponto.
Aqui, usamos a derivada de que é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor derivada, que é necessária para normalizar o vetor tangente.
Lembrando que , então:

Passo 4

Com a magnitude em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário vec(T)(t) dividindo o vetor derivada pela sua magnitude.
Aqui, usamos que e .

Passo 5

Para encontrar o vetor normal unitário vec(N)(t), precisamos derivar vec(T)(t) e então normalizar esse vetor derivada.
Primeiro, derivamos vec(T)(t):
Agora, calculamos a magnitude de :
Como a magnitude já é 1, o vetor normal unitário é igual ao vetor derivada:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a curvatura kappa(t). A fórmula geral para a curvatura é:
Já sabemos que e , então:

Resposta

Os vetores tangente unitário e normal unitário são, respectivamente:
E a curvatura é:

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