Determine os vetores unitários que satisfaçam as condições dadas.
a) Sentido oposto a v=lang<= 3,-4rang<= e a metade do tamanho de v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar vetores unitários que tenham sentido oposto ao vetor v = lang<= 3, -4 rang<= e que tenham a metade do tamanho de v. Vamos usar conceitos de vetores, magnitude e vetores unitários para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a magnitude (ou tamanho) do vetor v = lang<= 3, -4 rang<=. A fórmula para a magnitude de um vetor v = lang<= a, b rang<= é:
|v| = raiza^2 + b^2
Aplicando os valores:
|v| = raiz3^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, a magnitude de v é 5.

Passo 3

Agora, queremos um vetor que tenha a metade do tamanho de v. Isso significa que a nova magnitude será:
12 times 5 = 2,5

Passo 4

Também queremos que o vetor esteja no sentido oposto ao de v. Para isso, multiplicamos v por -1:
-v = lang<= -3, 4 rang<=

Passo 5

Agora, para obter um vetor com a magnitude desejada (2,5) e no sentido oposto, precisamos escalar o vetor -v para que sua magnitude seja 2,5. A fórmula para escalar um vetor é:
u = nova magnitude|v| times (-v)
Substituindo os valores:
u = 2,55 times lang<= -3, 4 rang<= = 0,5 times lang<= -3, 4 rang<= = lang<= -1,5, 2 rang<=

Passo 6

Finalmente, queremos um vetor unitário, ou seja, com magnitude 1. Para isso, normalizamos o vetor u, dividindo cada componente pela sua magnitude. Primeiro, calculamos a magnitude de u:
|u| = raiz(-1,5)^2 + 2^2 = raiz2,25 + 4 = raiz6,25 = 2,5
Agora, normalizamos:
uunitário = 12,5 times lang<= -1,5, 2 rang<= = lang<= -0,6, 0,8 rang<= á

Resposta

O vetor unitário que satisfaz as condições dadas é u = lang<= -0,6, 0,8 rang<=.

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